Комплекстүү сандар менен алгебралык формада амалдар
Жалпы сүрөт: Комплекстүү сандар — бул көбөйтүү менен жабдылган тегиздик. Аларды кошкондо $\mathbb{R}^2$ мейкиндигиндеги векторлорго окшошот, бирок көбөйтүү, бөлүү жана туюнтмалоо амалдарын колдонгондо алар бай сан системасына айланат. Бул сабакта биз ар бир амалды нөлдөн баштап түзөбүз, ар бир формуланы чыгарабыз жана акырында комплекстүү сандар талаа катары — толук укуктуу сан системасы катары турат.
1Кошуу жана Кемитүү — Компоненттер боюнча эрежелер
$z_1 = a_1 + b_1 i$ жана $z_2 = a_2 + b_2 i$ болсун. Кошуу жана кемитүү компонент боюнча аткарылат:
$$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\,i$$ $$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)\,i$$Вектордук окшоштук
Эгер $z = a + bi$ санын $\mathbb{R}^2$ мейкиндигиндеги $(a, b)$ вектору менен салыштырсак, анда комплекстүү кошуу так вектордук кошуу болот: биринчи компоненттерди кошобуз, экинчи компоненттерди кошобуз. Бул кокустук эмес — комплекстүү тегиздик вектордук мейкиндик катары $\mathbb{R}^2$ болуп саналат. Аны $\mathbb{R}^2$ ден айырмалаган нерсе — биз кийинки бөлүмдө аныктай турган көбөйтүү.
Касиеттери (ар бир компоненттеги реалдуу арифметикадан түздөн-түз келип чыгат)
| Касиет | Билдирүүсү |
|---|---|
| Коммутативдүүлүк | $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ |
| Ассоциативдүүлүк | $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$ |
| Кошуунун нейтралдык элементи | $0 = 0 + 0i$ шартын канааттандырат: $z + 0 = z$ |
| Кошуунун карама-каршы элементи | $-z = -a - bi$ шартын канааттандырат: $z + (-z) = 0$ |
Ар бир касиет реалдуу жана мнимдик бөлүктөр үчүн өз-өзүнчө аткарылгандыктан, жаңы далилдин кереги жок.
Интерактивдүү визуализация: Комплекстүү кошуу вектордук кошуу катары
Интерактивдүү визуализация — толук сабакта жеткиликтүү
Көк жана жашыл чекиттерди сүйрөңүз. Кызыл чекит — алардын суммасы, параллелограммдын диагоналы.