1. Мотивация: Эки классикалык маселе, бир математикалык объект
Унаанын $t$ убакыттагы абалы $s(t)$ менен берилсин дейли. $[a, a+h]$ убакыт аралыгында орточо ылдамдык төмөнкүдөй:
$$v_{\text{avg}} = \frac{s(a+h) - s(a)}{h}$$
Аралыкты кыскартканда — $h \to 0$ болгондо — барган сайын кыска аралыктардагы орточо ылдамдык $t = a$ убакыттагы заматтык ылдамдыкка жакындайт:
$$v(a) = \lim_{h \to 0} \frac{s(a+h) - s(a)}{h}$$
$y = f(x)$ ийри сызыгы берилсин, $(a, f(a))$ жана $(a+h, f(a+h))$ эки чекиттен өтүүчү кесүүчү түз сызык тартылсын. Анын жантайыңкылыгы:
$$m_{\text{sec}} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
$h \to 0$ болгондо, экинчи чекит биринчисине жакындайт, жана кесүүчү түз сызык жанама сызыкка айланат. Жанаманын жантайыңкылыгы:
$$m_{\text{tan}} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
Интерактивдүү: Кесүүчү сызыктын жанама сызыкка жакындашын көрүңүз
Сыдырманы жылдырып, $h$ маанисин 0 го жакындатыңыз жана кесүүчү сызыктын жанама сызыкка айланышын байкаңыз.
2. Туундунун аныктамасы
$f$ функциясы $a$ чекитин камтыган ачык аралыкта аныкталсын. $a$ чекитиндеги $f$ функциясынын туундусу — бул
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
бул чектин бар болушу шартында. Эквиваленттүү түрдө, $x = a + h$ деп алсак:
$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$