Кош интеграл: Аныктамасы жана Касиеттери
Ийри сызыктын астындагы аянттан беттин астындагы көлөмгө — Риман конструкциясы бир өлчөмгө жогорулатылды
1. Көлөм маселеси — Ийри сызыктын астындагы аянт, бир өлчөм жогору
1.1 Эстеп алуу: Бир өзгөрмөлүү Риман интегралы
Бир өзгөрмөлүү анализде сиз аныкталган интегралды $\int_a^b f(x)\,dx$ төмөнкүчө курдуңуз:
- $[a,b]$ аралыгын $\Delta x$ туурасындагы кичи аралыктарга бөлүү.
- Ар бир кичи аралыктан $x_i^*$ тандоо чекитин тандоо.
- Риман суммасын түзүү: $\displaystyle S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$.
- $n \to \infty$ болгондо чекке өтүү (бардык туурасы $\to 0$).
Ар бир $f(x_i^*)\,\Delta x$ мүчөсү жука тик бурчтуктун аянты. Чек так аянтты берет — $[a,b]$ үстүндөгү $y = f(x)$ ийри сызыктын астындагы аянтты.
Кайра эстетүү: Бул сиз бир өзгөрмөлүү анализде өздөштүргөн Риман конструкциясы. Төмөндөгүнүн баары — ошол эле окуя, бирок эки өлчөмдө айтылган.
1.2 Жогорулатуу: Беттин астындагы көлөм
Эми $f(x,y)$ эки өзгөрмөлүү функция $xy$-тегиздиктеги жазык аймак $R$ үстүндө аныкталсын (мисалы, $R = [a,b] \times [c,d]$ тик бурчтук). $z = f(x,y)$ графиги $R$ үстүндө калкып турган бет. Биз $R$ менен беттин ортосундагы катуу дененин көлөмүн табууну каалайбыз — $x$-огу менен ийри сызыктын ортосундагы аянтты тапкандай эле, бирок бир өлчөм жогору.
1.3 Конструкция — Кадам-кадам
| Кадам | Эмне кыласыз |
|---|---|
| Бөлүү | $R$ аймагын кичинекей уячаларга (кичи тик бурчтуктарга) бөлүңүз, ар биринин аянты $\Delta A_k$. Эгер $R = [a,b]\times[c,d]$ болсо, $[a,b]$ ны $\Delta x$ туурасындагы $m$ бөлүккө жана $[c,d]$ ны $\Delta y$ туурасындагы $n$ бөлүккө бөлүңүз, ар биринин аянты $\Delta A = \Delta x \cdot \Delta y$ болгон $m \times n$ уяча алынат. |
| Тандоо | Ар бир $R_{ij}$ уячасында тандоо чекитин $(x_{ij}^*,\, y_{ij}^*)$ тандаңыз. |
| Суммалоо | Кош Риман суммасын түзүңүз: $$S_{m,n} = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(x_{ij}^*,\, y_{ij}^*)\,\Delta A$$Ар бир мүчө жука тик бурчтук тилкенин көлөмү (негизи $\Delta A$, бийиктиги $f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$). |
| Тактоо жана чек | $m,n \to \infty$ болсун (бардык уячалардын диаметри $\to 0$). Эгер чек бар болсо жана бөлүү менен тандоо чекиттеринин ар кандай тандоосу үчүн бирдей болсо, ал кош интеграл деп аталат. |