Арифметикалык прогрессия (Арифметикалык ырааттуулук)
Так жана түшүнүктүү баяндоо — аныктамалардан колдонууларга чейин
1. Аныктама жана белгилөө
Арифметикалык прогрессия деген эмне?
$a_1, a_2, a_3, \ldots$ реалдуу сандар ырааттуулугу арифметикалык прогрессия (АП) деп аталат, эгерде $d$ деп белгиленген туруктуу реалдуу сан — жалпы айырма — бар болуп, ар бир катар жуп төмөнкү шартты канааттандырса:
$$ a_{n+1} - a_n = d \qquad \text{for every } n \ge 1. $$Башкача айтканда, АПнын жалпы түрү:
$$ a,\; a+d,\; a+2d,\; a+3d,\; \ldots $$Рекурсивдик аныктама
Биринчи мүчөнү жана ар бир кийинки мүчөнү мурункусунан чыгаруучу эрежени көрсөтүңүз:
$$ a_1 = a, \qquad a_{n+1} = a_n + d. $$Бул ырааттуулуктун кантип өсөрүн көрсөтөт, бирок $a_n$-ге жетүү үчүн мурунку бардык мүчөлөрдү эсептөө керек.
Ачык (жабык түрдөгү) аныктама
Каалаган мүчөнү анын номери боюнча түздөн-түз берүүчү формула:
$$ a_n = a_1 + (n-1)d. $$Бул биринчи 999 мүчөнү эсептебестен, түздөн-түз 1000-чи мүчөгө өтүүгө мүмкүндүк берет.
$d$ жөнүндө негизги маалыматтар
- $d > 0$: ырааттуулук өсүүчү (мисалы, $3, 7, 11, 15, \ldots$).
- $d < 0$: ырааттуулук кемүүчү (мисалы, $20, 17, 14, 11, \ldots$).
- $d = 0$: бардык мүчөлөр бирдей — туруктуу ырааттуулук (мисалы, $5, 5, 5, 5, \ldots$).
Мисалдар жана АП болбогон учурлар
| Ырааттуулук | АП? | Себеби |
|---|---|---|
| $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ | Ооба | $d = 3$ (туруктуу айырма) |
| $10, 6, 2, -2, -6, \ldots$ | Ооба | $d = -4$ |
| $7, 7, 7, 7, \ldots$ | Ооба | $d = 0$ |
| $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ | Жок | Айырмалар $1, 2, 4, 8, \ldots$ — туруктуу эмес (геометриялык прогрессия) |
| $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ | Жок | Фибоначчи — айырмалар $0, 1, 1, 2, 3, \ldots$ |