Бином теоремасы
Толук колдонмо: негизги жайылмалардан Ньютондун жалпыланган катарына чейин
1. Аныктама жана белгилөө
Негизги идея
$(a+b)^n$ туюнтмасын кашааны $n$ жолу көбөйтпөстөн кантип жайып жазса болот? Бином теоремасы бир сапта даяр жооп берет.
Бул жерде бином коэффициенти төмөнкүчө аныкталат:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}, \qquad 0\le k\le n.$$Ал $n$ нерседен $k$ нерсени тандоонун жолдорунун санын эсептейт (тартиби маанилүү эмес, кайталоосуз). Кеңири колдонулган башка белгилөөлөр: $C(n,k)$, ${}^{n}C_{k}$, $C_{k}^{n}$, жана $\displaystyle\binom{n}{k}$ ("$n$ ичинен $k$" деп окулат).
Биринчи бир нече даражаларды ачык жазып көрөлү:
| $n$ | $(a+b)^n$ жайылмасы | Мүчөлөр |
|---|---|---|
| 0 | $1$ | 1 |
| 1 | $a+b$ | 2 |
| 2 | $a^2+2ab+b^2$ | 3 |
| 3 | $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ | 4 |
| 4 | $a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ | 5 |
2. Паскаль үч бурчтугу
Түзүлүшү
Паскаль үч бурчтугу катар-катар курулат. Ар бир катар $1$ менен башталып, $1$ менен аяктайт, ал эми ар бир ички элемент анын диагональ боюнча үстүндөгү эки элементтин суммасы болот. Бул эреже так Паскалдын рекурренттик формуласы:
$$\boxed{\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}}, \qquad 1\le k\le n-1.$$чек шарттары менен: $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$.
Үч бурчтукту кантип окуу керек
- $n$-катар $(a+b)^n$ коэффициенттерин камтыйт.
- $n$-катардагы $k$-элемент $\binom{n}{k}$ болот.
- Мисал: 4-катар $1,4,6,4,1$ — бул так $a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ коэффициенттери.
Тарыхый маалымат
Бул үч бурчтук Паскалдан бир нече кылым мурда белгилүү болгон — ал Индияда (Пингала, б.з.ч. ~200-ж.) жана Кытайда (Цзя Сянь, ~1050-ж.) ачылган. Паскаль анын касиеттерин 1654-жылы системалуу изилдеген.