Аныктама жана Терминология
$e$ саны $a_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$ ырааттуулугунун $n\to\infty$ болгондогу чеги катары аныкталат:
$$ e \;:=\; \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} $$$:=$ белгиси бул аныктама экенин баса белгилейт: $e$ саны ырааттуулук жакындаган маани катары киргизилет.
Анын ондук жазылышы мындай башталат: $e \approx 2.71828\,18284\,59045\ldots$ $e$ саны иррационалдуу (Эйлер тарабынан далилденген, 1744) жана чындыгында трансценденттик (Эрмит тарабынан далилденген, 1873). Бул фактыларды далилсиз келтиребиз.
Сандык Изилдөө
$n$-дин бир нече маанилери үчүн $a_n$ маанисин эсептеп көрөлү:
| $n$ | $a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ |
|---|---|
| $1$ | $2.00000$ |
| $2$ | $2.25000$ |
| $5$ | $2.48832$ |
| $10$ | $2.59374$ |
| $100$ | $2.70481$ |
| $1\,000$ | $2.71692$ |
| $10\,000$ | $2.71815$ |
| $100\,000$ | $2.71827$ |
Мүчөлөр туруктуу түрдө өсүп, $e\approx 2.71828$ маанисине төмөндөн жакындайт. Жакындоо монотондуу, бирок жай: $n=1000$ болгондо да жакындоо $e$ менен экинчи ондук орунга чейин гана дал келет.
Чек Эмне Үчүн Бар — Монотондуу-Чектелген Аргумент
$\{a_n\}$ ырааттуулугунун жакындашын далилдөө үчүн эки нерсени көрсөтөбүз:
- Ырааттуулук катуу өсүүчү (бардык $n$ үчүн $a_{n+1}>a_n$).
- Ырааттуулук жогору жактан чектелген (бардык $n$ үчүн $a_n < 3$).