2.1 Формулировкасы

Каалаган чыныгы көрсөткүч $n \in \mathbb{R}$ үчүн:

$$ \frac{d}{dx}\bigl[x^n\bigr] = n\,x^{n-1} $$

$x^n$ аныкталган жерде.

2.2 Натуралдык көрсөткүчтөр үчүн далил (Бином теоремасы аркылуу)

$f(x) = x^n$ болсун, мында $n \in \mathbb{N}$. Чек аныктамасы боюнча:

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} $$

1-кадам — Бином теоремасы менен жайылтуу (мурунку темадан эстеңиз):

$$ (x+h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} h^k = x^n + n\,x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n $$

2-кадам — $x^n$ кемитип, $h$ га бөлүү:

$$ \frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \frac{n\,x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} $$ $$ = n\,x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} $$

3-кадам — $h \to 0$ болгондо чекти алуу:

Биринчисинен башка бардык мүчөлөр $h$ көбөйтүндүсүн камтыйт, ошондуктан алардын баары жоголот:

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left[ n\,x^{n-1} + \underbrace{\binom{n}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1}}_{\to\, 0} \right] = n\,x^{n-1} \quad \blacksquare $$

2.3 Терс жана бөлчөк көрсөткүчтөргө кеңейтүү

Көрсөткүч түрү	Кеңейтүү ыкмасы
Терс бүтүн сандар ($n < 0$)	$x^{-m} = \frac{1}{x^m}$ деп жазып, бөлүү эрежесин колдонуңуз (өзүнчө далилденет).
Рационалдык ($n = p/q$)	$y = x^{p/q}$ деп жазыңыз, ошондо $y^q = x^p$. Кыйыр дифференциалдап, $y'$ табыңыз.
Каалаган чыныгы $n$	$x^n = e^{n \ln x}$ деп жазып, чынжыр эрежесин экспоненциалдык/логарифмдик туундулар менен колдонуңуз.

2.4 Өзгөчө учурларды бириктирүү

Даража эрежеси — бул сиз мурда өзүнчө көргөн бир нече натыйжаларды бириктирген бирдиктүү формула: