1. Эмне үчүн аныкталган интегралды кеңейтүү керек
Мотивация. Риман интегралы $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ эки шартка негизделген: $[a,b]$ аралыгы чектүү, жана интегралдык функция $f$ ошол аралыкта чектелген. Бул шарттардын бири бузулганда, кадимки аныктама иштебей калат — бирок физика, ыктымалдык теориясы жана инженериядагы көптөгөн маанилүү маселелер так ушундай интегралдарды талап кылат.
Риман алкагы так эки жол менен бузулушу мүмкүн:
I түр — Интегралдоонун чексиз чектери (Биринчи түр)
Интегралдоо аралыгы $+\infty$ же $-\infty$ (же экөөнө тең) чейин созулат. Мисалы:
$$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$$Чектүү жогорку чек жок, ошондуктан кадимки Риман суммасын түзүү мүмкүн эмес.
II түр — Чектелбеген интегралдык функция (Экинчи түр)
Интегралдык функция аралыктын бир же бир нече чекитинде чексиздикке умтулат. Мисалы:
$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$Бул жерде $f(x) = 1/\sqrt{x} \to \infty$ качан $x \to 0^+$, ошондуктан $f$ $[0,1]$ аралыгында чектелбеген.
Бириктирүүчү идея: Таза интегралдардын чектери
Эки учурда тең стратегия бирдей: көйгөйлүү интегралды кадимки (таза) интегралдардын чеги менен алмаштыруу. Негизги суроо мындай болот: ал чек бар болуп, чектүү санга барабарбы?
Конвергенция жана дивергенция. Эгерде чек бар болсо (чектүү болсо), биз таза эмес интеграл конвергенцияланат (жыйнакталат) дейбиз. Эгерде чек жок болсо же чексиз болсо, ал дивергенцияланат (ажырайт) дейбиз.
2. I түр — Интегралдоонун чексиз чектери
2.1 Бир чексиз чек чекити
Аныктама. Эгерде $f$ $[a,\infty)$ аралыгында үзгүлтүксүз болсо, анда
$$\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_a^b f(x)\,dx$$чек бар болгон шартта. Ошондой эле, эгерде $f$ $(-\infty, b]$ аралыгында үзгүлтүксүз болсо:
$$\int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_a^b f(x)\,dx$$