1. Циркуляция жараткан суроо: Талаа бир чекитте канчалык айланат?
Эстеп калыңыз: Циркуляция
Мурунку темада сиз $\mathbf{F}$ вектордук талаасынын жабык ийри сызык $C$ боюнча циркуляциясы — бул сызыктык интеграл экенин үйрөнгөнсүз:
$$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$$Циркуляция талаанын бөлүкчөнү цикл боюнча бир жолу айлантканда берген жалпы "түртүүсүн" көрсөтөт. Бирок бул глобалдык сан — ал циклдин өлчөмүнө жана формасына көз каранды. Табигый кийинки суроо:
"Талаа бир чекитте канчалык айланат?"
1.1 Чектик аныктама — Бирдик аянтка циркуляция
$\mathbf{a}$ чекитиндеги жергиликтүү айлануунун өзүн бөлүп алуу үчүн, биз циклди ошол чекитке чейин кичирейтебиз жана камтылган аянтка бөлөбүз. $\hat{\mathbf{n}}$ бирдик нормаль багытын жана $\hat{\mathbf{n}}$-ге перпендикуляр тегиздикте $A(C)$ аянтты камтыган кичинекей багытталган цикл $C$-ни тандаңыз. Анда $\hat{\mathbf{n}}$ багытындагы curl $\mathbf{F}$-тин компоненти төмөнкү чек менен аныкталат:
$$\bigl(\nabla\times\mathbf{F}(\mathbf{a})\bigr)\cdot\hat{\mathbf{n}} \;=\; \lim_{A(C)\to 0}\frac{1}{A(C)}\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$$Бул циркуляция тыгыздыгы — цикл чекитке кичирейгенде бирдик аянтка циркуляция. Толук curl вектору бул чекти үч көз карандысыз нормаль багыт ($\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}$) үчүн эсептөө аркылуу алынат.