Тригонометриялык теңдемелер
Тригонометриялык теңдеме деген эмне? Тригонометриялык теңдеме — белгисиз бурчтун тригонометриялык функцияларын камтыган теңдеме. Тригонометриялык тепчилдиктен (ал өзгөрмөнүн бардык маанилери үчүн аткарылат) айырмаланып, тригонометриялык теңдеме белгилүү маанилер менен гана канааттандырылат. Ал маанилер теңдеменин тамырлары (же чечимдери) деп аталат.
Синус, косинус жана тангенс мезгилдүү болгондуктан, чечими бар тригонометриялык теңдеменин адатта чексиз көп чечими болот. Ошондуктан биз төмөнкүлөрдү айырмалайбыз:
- Негизги чечимдер — бир негизги аралыктагы чечимдер, адатта $[0, 2\pi)$.
- Жалпы чечим — мезгилдин бүтүн сандуу эселиктерин кошуу аркылуу бардык чечимдерди камтыган ыкчам формула.
1. Үч элементардык (эң жөнөкөй) теңдемелер
Тригонометриялык теңдемелерди чечүүнүн бардык ыкмалары акырында маселени ушул үч негизги формага алып келет.
| Теңдеме | Бар болуу шарты | Жалпы чечим | Үй-бүлөнүн мезгили |
|---|---|---|---|
| $\sin x = a$ | $|a| \le 1$ | $$x = n\pi + (-1)^{n}\arcsin a,\quad n \in \mathbb{Z}$$ | $2\pi$ |
| $\cos x = a$ | $|a| \le 1$ | $$x = 2n\pi \pm \arccos a,\quad n \in \mathbb{Z}$$ | $2\pi$ |
| $\tan x = a$ | Бардык реалдуу $a$ | $$x = n\pi + \arctan a,\quad n \in \mathbb{Z}$$ | $\pi$ |
Бул формулалар эмне үчүн ушундай көрүнөт
Синус. Бирдик чөйрөдө $y = a$ ($|a|\le 1$ болгондо) горизонталдык сызык чөйрөнү ар бир айлануу учурунда эки чекитте кесет:
- 1-үй-бүлө (I чейрек тарабы): $x = \arcsin a + 2k\pi$
- 2-үй-бүлө (II чейрек тарабы): $x = \pi - \arcsin a + 2k\pi$