Тригонометриялык алмаштыруулар жана тригонометриялык интегралдар
Жалпы сүрөт. Бул теманын бири-бирине байланышкан эки бөлүгү бар:
- Тригонометриялык интегралдар — курамында $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\sec$ ж.б. мурунтан эле камтылган туюнтмаларды тождестиктерди колдонуп интегралдоо.
- Тригонометриялык алмаштыруу — квадрат тамыр туюнтмасын жоюу үчүн алгебралык интегралга тригонометриялык функцияны киргизүү.
1. Синус жана косинустун даражалары: $\displaystyle\int \sin^m x\,\cos^n x\,dx$
Стратегия толугу менен $m$ жана $n$ көрсөткүчтөрүнүн жуптуулугуна (так/жуп) көз каранды.
А учуру — Жок дегенде бир так даража
Эреже: Так даражалуу функциянын бир нускасын $dx$ менен жупташтыруу үчүн бөлүп алыңыз, калган жуп даражаны Пифагор тождестиги менен алмаштырыңыз жана орун алмаштыруу жасаңыз.
| Кырдаал | Бөлүп алуу | Тождестик | Алмаштыруу |
|---|---|---|---|
| $n$ (косинус даражасы) так | бир $\cos x\,dx$ | $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$ | $u=\sin x,\;du=\cos x\,dx$ |
| $m$ (синус даражасы) так | бир $\sin x\,dx$ | $\sin^2 x = 1-\cos^2 x$ | $u=\cos x,\;du=-\sin x\,dx$ |
| Экөө тең так | Каалаганын — кайсынысы жөнөкөй болсо, ошону тандаңыз | Жогорудагыдай эле | Жогорудагыдай эле |
Тез мисал (так косинус даражасы):
$$\int \sin^2 x\,\cos^3 x\,dx = \int \sin^2 x\,(1-\sin^2 x)\,\cos x\,dx$$$u=\sin x$ деп коёлу:
$$= \int u^2(1-u^2)\,du = \int (u^2-u^4)\,du = \frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C = \frac{\sin^3 x}{3}-\frac{\sin^5 x}{5}+C$$Б учуру — Экөө тең жуп даража
Эреже: Даражаны азайтуу (жарым бурч / кош бурч) формулаларын кайра-кайра колдонуңуз: