1. Эки талап бириккенде: Базис деген эмне?
Мурунку темадан эстеп көрөлү: Биз векторлор жыйнагынын эки касиетин өз-өзүнчө изилдегенбиз:
- Жайылтуу (Spanning): Эгерде $V$ вектордук мейкиндигиндеги ар бир вектор $S$ жыйнагындагы векторлордун сызыктуу комбинациясы катары жазылса, $S$ жыйнагы $V$ мейкиндигин жайылтат. (Бардыгына жетүү үчүн жетиштүү векторлор.)
- Сызыктуу көз карандысыздык: Эгерде $S$ жыйнагындагы бир да вектор ашыкча болбосо — нөл векторду алуунун жалгыз жолу бардык коэффициенттерди нөлгө барабар кылуу болсо — $S$ жыйнагы сызыктуу көз карандысыз. (Бир да вектор текке кетпейт.)
Аныктама — Базис
$V$ вектордук мейкиндиги үчүн базис — бул $\mathcal{B} = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$ векторлор жыйнагы, ал эки талапты бир эле учурда канааттандырат:
- Көз карандысыздык: $c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0} \;\Longrightarrow\; c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0.$
- Жайылтуу: Ар бир $\mathbf{v} \in V$ үчүн $a_1, \ldots, a_n$ скалярлары бар, мында $\mathbf{v} = a_1\mathbf{v}_1 + \cdots + a_n\mathbf{v}_n.$
Кыскача айтканда: базис — бул сызыктуу көз карандысыз жайылтуучу жыйнак — бардыгына жетүү үчүн жетиштүү векторлор, бир да вектор текке кетпейт.