Комплекстүү сандардын тамырлары
Эмне үчүн бул маанилүү
Сиз $\sqrt{9} = 3$ (жана $-3$) экенин билесиз, бул 9дун эки квадрат тамырын берет. Бирок $-8$дин куб тамырлары же $i$нин төртүнчү тамырлары жөнүндө эмне дейсиз? Комплекстүү сандар дүйнөсүндө ар бир нөлгө барабар эмес сандын так $n$ түрдүү $n$-чи тамыры бар. Де Муавр теоремасы — алардын баарын табуунун ачкычы.
1. Полярдык (тригонометриялык) формага өткөрүү
Де Муавр теоремасын колдонуудан мурун, комплекстүү санды полярдык формага айландыруу керек.
Каалаган комплекстүү сан $z = a + bi$ төмөнкүчө жазылат:
$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$
мында
- Модулу: $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ — Арганд диаграммасында координаталар башынан аралык.
- Аргументи: $\theta = \arg(z)$ — оң чыныгы октон саат жебесине каршы өлчөнгөн бурч. $\theta = \arctan\!\left(\dfrac{b}{a}\right)$ колдонуңуз, туура чейректи эске алуу менен.
⚠️ Чейректи текшерүү: $\arctan(b/a)$ формуласы туура бурчту $a > 0$ болгондо гана берет. Эгер сан II же III чейректе жайгашса (б.а. $a < 0$), натыйжага $\pi$ кошуу керек. Эгер IV чейректе $a > 0, b < 0$ болсо, оң бурч алуу үчүн $2\pi$ кошуңуз.
| Тик бурчтуу | $r$ | $\theta$ | Полярдык форма |
|---|---|---|---|
| $1 + i$ | $\sqrt{2}$ | $\pi/4$ | $\sqrt{2}\,(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$ |
| $-1 + i\sqrt{3}$ | $2$ | $2\pi/3$ | $2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})$ |
| $-2$ | $2$ | $\pi$ | $2(\cos\pi+i\sin\pi)$ |