Бул тема эмне үчүн маанилүү?
Азырга чейин сиздин куралдар топтомуңуздагы бардык конвергенция тесттери — салыштыруу, катыш, тамыр, интеграл — терс эмес мүчөлөрү бар катарлар үчүн иштелип чыккан. Бирок көптөгөн маанилүү катарлардын мүчөлөрү белгисин алмаштырып турат. Альтернативдүү гармоникалык катар $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$ — эң жөнөкөй мисал: анын мүчөлөрүнүн баары оң эмес, ошондуктан терс эмес мүчөлөр үчүн тесттердин бири да түздөн-түз колдонулбайт.
Аралаш белгилүү катар $\sum a_n$ үчүн эки так суроо пайда болот:
- Абсолюттук катар $\sum |a_n|$ конвергенттүүбү?
- Баштапкы катар $\sum a_n$ конвергенттүүбү?
Алдын ала төрт комбинация мүмкүн болуп көрүнөт. Алардын бири — "$\sum|a_n|$ конвергенттүү, бирок $\sum a_n$ дивергенттүү" — бул сабактын негизги теоремасы тарабынан жокко чыгарылган. Калган үчөө сиз жолуктура турган ар бир катарды классификациялаган трихотомияны аныктайт.
1. Альтернативдүү катарлар жана Лейбниц тести
Аныктама — Альтернативдүү катар
Катар альтернативдүү деп аталат, эгерде анын мүчөлөрү белгисин катуу алмаштырып турса. Стандарт формалары:
$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \cdots \qquad (b_n > 0)$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}b_n = -b_1 + b_2 - b_3 + b_4 - \cdots \qquad (b_n > 0)$$
$\{b_n\}$ оң сандардын ырааттуулугу болуп, төмөнкү шарттарды канааттандырсын:
- Бардык $n$ үчүн $b_{n+1}\le b_n$ (монотондуу кемүү), жана
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n = 0$.