1. Аныктама жана белгилөө
Геометриялык прогрессия деген эмне?
Геометриялык прогрессия (ГП), башкача айтканда геометриялык ырааттуулук — бул нөлгө барабар эмес сандардын ырааттуулугу, мында биринчиден кийинки ар бир мүчө мурунку мүчөнү жалпы бөлүк деп аталган туруктуу, нөлгө барабар эмес санга көбөйтүү аркылуу алынат. Ал $q$ (же кээде $r$) менен белгиленет.
Расмий аныктама: $(b_1, b_2, b_3, \ldots)$ ырааттуулугу геометриялык прогрессия болот, эгерде $q \neq 0$ туруктуусу бар болсо, мында
$$b_{n+1} = b_n \cdot q \quad \text{бардык } n \geq 1 \text{ үчүн}, \quad b_1 \neq 0.$$
Ырааттуулук адатта мындай жазылат:
$$b_1,\; b_1 q,\; b_1 q^2,\; b_1 q^3,\; \ldots$$Рекурсивдик жана ачык аныктама
Рекурсивдик аныктама:
Ар бир мүчөнү мурунку мүчөгө карата аныктайт: $$b_1 = a, \quad b_{n+1} = b_n \cdot q$$
Ар бир мүчөнү мурунку мүчөгө карата аныктайт: $$b_1 = a, \quad b_{n+1} = b_n \cdot q$$
Ачык (жабык формулалуу) аныктама:
Ар бир мүчөнү анын $n$ орду боюнча түздөн-түз аныктайт: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$
Ар бир мүчөнү анын $n$ орду боюнча түздөн-түз аныктайт: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$
Жалпы бөлүк $q$ боюнча жүрүм-турум
| $q$ нын мааниси | Жүрүм-турум | Мисал ($b_1 = 2$) |
|---|---|---|
| $q > 1$ | Мүчөлөр чексиз өсөт (экспоненциалдык өсүш) | $2, 6, 18, 54, \ldots$ ($q=3$) |
| $q = 1$ | Бардык мүчөлөр бирдей (туруктуу ырааттуулук) | $2, 2, 2, 2, \ldots$ |
| $0 < q < 1$ | Мүчөлөр нөлгө жакындайт | $2, 1, 0.5, 0.25, \ldots$ ($q=0.5$) |
| $-1 < q < 0$ | Мүчөлөр белгисин алмаштырып, нөлгө жакындайт | $2, -1, 0.5, -0.25, \ldots$ ($q=-0.5$) |
| $q < -1$ | Мүчөлөр белгисин алмаштырып, абсолюттук мааниси боюнча өсөт | $2, -4, 8, -16, \ldots$ ($q=-2$) |