Курс боюнча эскертүү
Бул сабак сиз түзгөн алгебралык куралдар топтомун — туюнтмаларды өзгөртүү, теңдемелерди чыгаруу, функциялар менен иштөө — көп өзгөрмөлүү анализ тармагына кеңейтет. Төмөндөгү теоремалар вектордук анализдин чокусу болуп саналат, бирок ар бир кадам ошол эле алгебралык тартипке негизделет: алмаштыруу, көбөйтүүчүлөргө ажыратуу, белгилерди кылдат көзөмөлдөө жана интегралдарды системалуу эсептөө. Муну алгебранын эң күчтүү көрүнүшү деп ойлоңуз.
1. Архитектура: Бир теорема, ченемдерди кийип
Эч нерсе айтуудан мурун, анализдеги ар бир негизги теорема аркылуу өтүүчү үлгүнү карап көрөлү:
Бул үлгү биринчи жолу Анализдин негизги теоремасында (Ньютон–Лейбниц) пайда болот:
$$ \int_a^b f'(x)\,dx \;=\; f(b) - f(a) $$Туунду $f'$ $[a,b]$ аралыгы боюнча интегралданат; натыйжа — $f$ эки чек арадагы чекитте бааланат.
Грин теоремасы — жазыктыктагы учур — $D$ 2D аймагы, $\partial D$ чек ара ийри сызыгы менен:
$$ \oint_{\partial D} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA $$Эми бул сабактын эки теоремасы үйбүлөнү толуктайт:
- Стокс теоремасы — $S$ бети, $\partial S$ чек ара ийри сызыгы менен (Грин теоремасы 3Dге көтөрүлгөн).
- Дивергенция теоремасы — $V$ катуу дене, $\partial V$ чек ара бети менен (Гриндин нормалдык формасы 3Dге көтөрүлгөн).
Төртөө тең жалпыланган Стокс теоремасынын дифференциалдык формалардагы өзгөчө учурлары:
$$ \int_M d\omega \;=\; \int_{\partial M} \omega $$