Лопиталь эрежеси
Аныкталбаган чектерди баалоо үчүн туунду негизиндеги системалуу курал
1. Эске салуу: Аныкталбаган формалар
Чектерди мурунку изилдөөбүздө, түз алмаштыруу кошумча талдоосуз маанисин аныктоого мүмкүн болбогон туюнтмаларды берген кырдаалдарга туш болгонбуз. Булар аныкталбаган формалар:
Ошол учурда биз буларды алгебралык ыкмалар менен чечкенбиз: көбөйтүүчүлөргө ажыратуу, рационалдаштыруу (кошумча көбөйтүүчү менен көбөйтүү), кыскартуу жана белгилүү чектер, мисалы:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $$Бул ыкмалар сонун иштейт — бирок ар бир жаңы маселе үчүн чыгармачылык мамиле талап кылынат. Лопиталь эрежеси эки негизги аныкталбаган форманы $\frac{0}{0}$ жана $\frac{\infty}{\infty}$ түздөн-түз чечүүчү системалуу, туундуга негизделген курал болуп саналат, жана башка бардык аныкталбаган формалар ушуларга келтирилет.
2. Лопиталь эрежесинин формулировкасы
2.1 $\frac{0}{0}$ формасы
Теорема (Лопиталь эрежеси — Нөл-бөлүнгөн-нөл).
$f$ жана $g$ функциялары $c$ чекитин камтыган ачык аралыкта $I$ дифференциалданат (балким $c$ чекитинин өзүнөн башка). Төмөнкүлөр аткарылсын:
- $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = 0$ жана $\displaystyle\lim_{x \to c} g(x) = 0$;
- $g'(x) \neq 0$ бардык $x \in I$ үчүн, $x \neq c$ болгондо;
- $\displaystyle\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ бар (же $\pm\infty$ ге барабар).
Анда:
$$ \boxed{\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}} $$Колдонулушу: Эреже чектүү чекиттерде ($c \in \mathbb{R}$), бир тараптуу чектерде ($x \to c^+$ же $x \to c^-$), жана чексиздикте ($x \to +\infty$ же $x \to -\infty$) колдонулат.
2.2 $\frac{\infty}{\infty}$ формасы
Теорема (Лопиталь эрежеси — Чексиздик-бөлүнгөн-чексиздик).
Эгерде $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = \pm\infty$ жана $\displaystyle\lim_{x \to c} g(x) = \pm\infty$, жана жогорудагы башка шарттар аткарылса, анда ошол эле жыйынтык чыгат:
$$ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$2.3 Далилдин негизи: Коши орточо маани теоремасы
Коши орточо маани теоремасы. $f$ жана $g$ функциялары $[a,b]$ аралыгында үзгүлтүксүз жана $(a,b)$ аралыгында дифференциалданат, жана $g'(x) \neq 0$ $(a,b)$ аралыгында дейли. Анда жок дегенде бир $c \in (a,b)$ бар, мында:
$$ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} $$Эскертүү: $g(x) = x$ болгондо, бул кадимки Орточо маани теоремасына айланат.
Далилдин эскизи (0/0 учуру, оң тараптуу чек)
$f(a) = g(a) = 0$ болгондо $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}$ үчүн далилдин эскизин берели:
- $a$ жанында $g'(x) \neq 0$ болгондуктан, Орточо маани теоремасы боюнча $a$ жанында $g(x) \neq 0$ (антпесе Ролль теоремасы $g'$ нөлгө барабар болушун талап кылмак).
- $a$ жанындагы каалаган $x$ үчүн ($x > a$ болгондо), $[a, x]$ аралыгында Коши ОМТ колдонобуз: $c_x \in (a, x)$ бар, мында $$ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} $$
- $x \to a^+$ болгондо, $c_x \to a^+$ ($a < c_x < x$ болгондуктан), демек $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c_x \to a^+} \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
$\frac{\infty}{\infty}$ учуру кыйла татаалыраак аргументти талап кылат ($[x, x_1]$ аралыгында Коши ОМТ колдонуп, катышты кайра жазуу жана $g(x) \to \infty$ болгондо калдык мүчөлөрдү көзөмөлдөө), бирок негизги механизм ошол эле теорема.