Квадраттык теңдемелер
Толук баяндоо: аныктамадан баштап, чыгаруунун бардык ыкмалары, колдонмолор, параметр анализи жана квадраттыкка келтирилүүчү теңдемелерге чейин.
1. Аныктама жана стандарттык форма
Жалпы квадраттык теңдеме
Квадраттык теңдеме — бул бир өзгөрмөлүү $x$ боюнча стандарттык формада жазылуучу теңдеме:
Коэффициенттердин аталыштарын жакшы билүү керек:
- $a$ — башкы (квадраттык) коэффициент. Ал нөлгө барабар болбошу керек; антпесе $x^2$ мүчөсү жоголуп, теңдеме сызыктуу $bx + c = 0$ учурга айланат, аны чыгарууну сиз мурунтан билесиз (Сызыктуу теңдемелер темасына кайрылуу).
- $b$ — сызыктуу коэффициент.
- $c$ — туруктуу мүчө (же эркин мүчө).
Толук эмес квадраттык теңдемелер
Башкы эмес коэффициенттердин бири нөлгө барабар болгондо, теңдеме толук эмес деп аталат. Бул учурлардын өзүнчө тезирээк чыгаруу жолдору бар — аларга жалпы формуланы колдонуу — бул башынан эле алдын алуу керек болгон ыкмалык ката.
Теңдеме $ax^2 + c = 0$ болуп калат.
Ыкма — тамырды ± тартиби менен алуу:
- $x^2$ бөлүп алыңыз: $\;x^2 = -\dfrac{c}{a}$
- Эгер $-c/a \ge 0$ болсо, квадрат тамыр алыңыз: $x = \pm\sqrt{-c/a}$
- Эгер $-c/a < 0$ болсо, чыныгы тамырлар жок.
Чыгарылган мисал: $3x^2 - 48 = 0$ теңдемесин чыгаргыла.
$x^2 = \dfrac{48}{3} = 16 \;\Longrightarrow\; x = \pm 4.$
Теңдеме $ax^2 + bx = 0$ болуп калат.
Ыкма — өзгөрмөнү көбөйтүүчү катары бөлүп чыгаруу:
- $x(ax + b) = 0$
- Көбөйтүндүнүн нөлгө барабардык касиети: $x = 0$ же $ax + b = 0$
- Демек $x = 0$ же $x = -\dfrac{b}{a}$
Чыгарылган мисал: $5x^2 - 20x = 0$ теңдемесин чыгаргыла.
$x(5x - 20) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0$ же $x = 4.$