1. Тескери суроо: Функциялардан катарларга
Негизги идея: Мурунку темада биз даражалык катардан баштап, "бул кайсы функцияны билдирет?" деп сурадык. Эми суроону тескери коёбуз: $f$ функциясы берилсе, ага барабар болгон даражалык катарды кура алабызбы?
1.1 Коэффициент формуласын чыгаруу
$f(x)$ функциясы $x = a$ чекитинде борборлоштурулган даражалык катар менен чындап берилет деп ойлойлу:
$$ f(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n $$Биз $c_n$ коэффициенттери кандай болушу керек экенин табышыбыз керек. Стратегия абдан жөнөкөй жана кооз: кайра-кайра туундусун алып, $x = a$ чекитинде баалоо.
0-кадам — $x = a$ коёбуз:
$$ f(a) = c_0 + 0 + 0 + \cdots \implies c_0 = f(a) $$1-кадам — Бир жолу туундусун алып, $x = a$ коёбуз:
$$ f'(x) = c_1 + 2c_2(x-a) + 3c_3(x-a)^2 + \cdots $$ $$ f'(a) = c_1 \implies c_1 = f'(a) $$2-кадам — Эки жолу туундусун алабыз:
$$ f''(x) = 2c_2 + 3 \cdot 2 \, c_3(x-a) + 4 \cdot 3 \, c_4(x-a)^2 + \cdots $$ $$ f''(a) = 2c_2 \implies c_2 = \frac{f''(a)}{2!} $$$n$-кадам — $n$ жолу туундусун алабыз:
$$ f^{(n)}(a) = n! \, c_n \implies \boxed{c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}} $$
Негизги түшүнүк (Уникалдуулуктун натыйжасы): Биз мурда далилдегенбиз: даражалык катар менен берилүү, эгер ал бар болсо, уникалдуу. Демек, коэффициенттер функциянын өзү тарабынан аныкталат — алар чыгарылат, ойлоп табылбайт.
1.2 Тейлор катарынын аныктамасы
Аныктама — Тейлор катары
Эгерде $f$ функциясынын $x = a$ чекитинде бардык тартиптеги туундулары бар болсо, анда $a$ чекитинде борборлоштурулган $f$ функциясынын Тейлор катары: