Ырааттуулуктарды эстеп, кайра карап чыгуу
Ырааттуулук деген эмне?
Ырааттуулук — бул натурал сандардан реалдуу сандарга болгон функция:
$a : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \qquad n \mapsto a_n.$
Ырааттуулукту $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ же жөн гана $(a_n)$ деп жазабыз. Ар бир натурал сан $n$ — индекс, ал эми $a_n$ — $n$-чи мүчө.
Ырааттуулукту аныктоо жолдору
| Ыкма | Мисал |
|---|---|
| Ачык формула | $a_n = \dfrac{1}{n}$ |
| Рекурренттик катыш | $a_1 = 1,\; a_{n+1} = \sqrt{1 + a_n}$ |
| Сөз менен / бөлүктөп | "$a_n$ — $n$-чи жөнөкөй сан" |
Негизги терминдер
- Монотондук өсүүчү: $a_{n+1} \ge a_n$ бардык $n$ үчүн.
- Монотондук кемүүчү: $a_{n+1} \le a_n$ бардык $n$ үчүн.
- Жогору чектелген: $\exists\, M$ ошондой, $a_n \le M$ бардык $n$ үчүн.
- Төмөн чектелген: $\exists\, m$ ошондой, $a_n \ge m$ бардык $n$ үчүн.
- Чектелген: жогору жана төмөн чектелген, б.а. $|a_n| \le K$ кандайдыр бир $K$ үчүн.
Тааныш мисалдарды кайра карап чыгуу
Арифметикалык прогрессия: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Эгер $d \neq 0$ болсо, мүчөлөр $\pm\infty$ ка кетет; ырааттуулук чектелбеген.
Геометриялык прогрессия: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.
- $|r| < 1$: мүчөлөр $0$ га жакындайт.
- $r = 1$: туруктуу ырааттуулук.
- $|r| > 1$: мүчөлөр чексиздикке кетет.
- $r = -1$: $\pm a_1$ ортосунда термелет.
Бул мисалдар негизги суроону көрсөтүп турат: $n \to \infty$ болгондо $a_n$ кандай болот?
Конвергенциянын интуитивдик идеясы
Формалдуу аныктамага чейин интуицияны калыптандыралы. Ырааттуулук $L$ санына жакындайт (конвергенцияланат), эгер анын мүчөлөрү $L$ ге жакындап, жакын бойдон калса. "Жакындайт" — мүчөлөр $L$ ге барат дегенди билдирет; "жакын бойдон калат" — алар кайра алыстабайт дегенди билдирет.