1.1 Формулировка

Эгерде $f$ жана $g$ функциялары $x$ чекитинде дифференциялануучу болсо, жана $\alpha,\beta$ — туруктуулар болсо, анда

$$ \frac{d}{dx}\bigl[\alpha\, f(x) + \beta\, g(x)\bigr] = \alpha\, f'(x) + \beta\, g'(x). $$

Оператордук жазууда: $D(\alpha f + \beta g) = \alpha\,Df + \beta\,Dg$. Бул туунду оператору сызыктуу экенин билдирет.

1.2 Аныктамадан далилдөө

Туруктууга көбөйтүү эрежеси. $c$ — туруктуу болсун. Анда:

$$ \frac{d}{dx}[c\,f(x)] = \lim_{h\to 0}\frac{c\,f(x+h)-c\,f(x)}{h} = c\,\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = c\,f'(x). $$

Биз жөн гана туруктууну чектен сыртка чыгардык — бул чектер үчүн туруктууга көбөйтүү закону менен негизделет.

Кошуу эрежеси.

$$ \frac{d}{dx}[f(x)+g(x)] = \lim_{h\to 0}\frac{[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)]}{h} $$ $$ = \lim_{h\to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right] = f'(x)+g'(x). $$

Бул жерде биз чектер үчүн кошуу законун колдондук.

Бул эки натыйжаны бириктирүү толук сызыктуулук касиетин дароо берет.

1.3 Чектүү сызыктуу айкалыштарга кеңейтүү

Индукция боюнча, каалаган $n$ дифференциялануучу функциялар $f_1,\dots,f_n$ жана туруктуулар $c_1,\dots,c_n$ үчүн:

$$ \frac{d}{dx}\left[\sum_{k=1}^{n} c_k\,f_k(x)\right] = \sum_{k=1}^{n} c_k\,f_k'(x). $$

1.4 Түздөн-түз натыйжа — Көпмүчөлүктөрдү мүчө-мүчө дифференциялоо

Ар бир көпмүчөлүк $p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0$ — бул даража функцияларынын чектүү сызыктуу айкалышы. Сызыктуулукту даража эрежеси $\frac{d}{dx}[x^k]=k\,x^{k-1}$ менен бирге колдонуу:

$$ p'(x) = n\,a_n\,x^{n-1} + (n-1)\,a_{n-1}\,x^{n-2} + \cdots + a_1. $$