Бернулли Дифференциалдык Теңдемеси
Бир гана алмаштыруу менен чечилүүчү классикалык сызыктуу эмес теңдеме
1. Бернулли теңдемеси деген эмне?
Стандарттык форма
Биринчи тартиптеги ОДТ Бернулли теңдемеси деп аталат, эгерде аны төмөнкүдөй жазууга болсо:
мында $P(x)$ жана $Q(x)$ — үзгүлтүксүз функциялар, ал эми $n$ — реалдуу сан. Теңдеме Якоб Бернуллинин атына коюлган, ал аны 1695-жылы биринчи жолу талкуулаган, бирок биз колдонгон чечүү ыкмасы ошол эле жылы Готфрид Лейбниц тарабынан жарыяланган.
Түзүлүшүнө көңүл буруңуз: сол тарабы биринчи тартиптеги сызыктуу ОДТга окшош, бирок оң тарабында сызыктуулукту бузган $y^n$ даражасы бар. Ошол бир гана даражалык мүчө теңдемени сызыктуу эмес кылат — жана ошол эле учурда аны акылдуу ыкма менен чечүүгө мүмкүндүк берет.
Өзгөчө даража маанилери — Дароо аныктоо
| Даража $n$ | Эмне болот | Ыкма |
|---|---|---|
| $n = 0$ | $y^0 = 1$, ошондуктан теңдеме $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ болуп калат — стандарттык биринчи тартиптеги сызыктуу ОДТ. | Интеграциялоочу көбөйтүндү (мурда үйрөнгөнсүз). |
| $n = 1$ | $y^1 = y$, ошондуктан теңдеме $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y$ болуп калат, б.а. $\frac{dy}{dx} = [Q(x) - P(x)]y$ — бөлүнүүчү теңдеме. | Бөлүп, интеграциялоо. |
| $n \neq 0, 1$ | Теңдеме чындап сызыктуу эмес. Бул жаңы аймак. | Бернулли алмаштыруусу (бул сабак). |
Таануу галереясы — Жашырылган Бернулли теңдемелерин аныктоо
Бернулли теңдемелери ар дайым стандарттык формада келе бербейт. Алгач бөлүү же кайра иреттөө керек болушу мүмкүн.
| Берилген форма | Бөлүү / Кайра иреттөө | Стандарттык форма | $n$ |
|---|---|---|---|
| $x\frac{dy}{dx} + y = y^2 x^2 \ln x$ | $x$ ке бөлүү | $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = (x\ln x)\,y^2$ | $2$ |
| $2\frac{dy}{dx} + (\tan x)\,y = \frac{(4x+5)^2}{\cos x}\,y^3$ | $2$ ге бөлүү | $\frac{dy}{dx} + \frac{\tan x}{2}\,y = \frac{(4x+5)^2}{2\cos x}\,y^3$ | $3$ |
| $y' + \frac{y}{x} - \sqrt{y} = 0$ | $\sqrt{y}$ ны оңго жылдыруу | $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = y^{1/2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $y' - y = e^{2x}y^3$ | Формада даяр | $\frac{dy}{dx} - y = e^{2x}\,y^3$ | $3$ |
| $y' + 3y = xy^{-2}$ | Формада даяр | $\frac{dy}{dx} + 3y = x\,y^{-2}$ | $-2$ |
Негизги көндүм: $n$ маанисин теңдеме $y' + P(x)y = Q(x)y^n$ стандарттык формасына келтирилгенден кийин гана аныктаңыз.