1. Түшүнүк: Тескери матрица деген эмне?
Аныктама
$n \times n$ өлчөмүндөгү квадрат матрица $A$ берилсин, $A$ матрицасынын тескериси, $A^{-1}$ деп жазылат, төмөнкү шартты канааттандырган жалгыз матрица:
$$A\,A^{-1} = A^{-1}A = I$$мында $I$ — $n \times n$ бирдик матрица. Башкача айтканда, $A^{-1}$ $A$ га көбөйтүүнүн натыйжасын жокко чыгарат.
Тескери сандар менен окшоштук
Нөлгө барабар эмес $a$ саны үчүн, тескери сан $a^{-1} = \tfrac{1}{a}$ шартты канааттандырат: $a \cdot a^{-1} = 1$. Тескери матрица дал ушундай ролду аткарат, мында бирдик матрица $I$ $1$ санынын ордуна турат.
Жалгыздык (Үч саптык далил)
$B$ жана $C$ экөө тең $A$ нын тескериси болсун дейли. Анда:
$$B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C$$Демек $B = C$. Тескери матрица, эгер бар болсо, жалгыз.
2. Критерий: Тескери матрица качан бар болот?
Тескерилүүчүлүк теоремасы
Квадрат матрица $A$ тескерилүүчү болот анда жана ошондо гана, качан $\det(A) \neq 0$.
Терминдер
| Термин | Мааниси |
|---|---|
| Сингулярдуу эмес (тескерилүүчү) | $\det(A) \neq 0$; $A^{-1}$ бар |
| Сингулярдуу (тескерилбөөчү) | $\det(A) = 0$; $A^{-1}$ жок |
Эмне үчүн детерминант тескерилүүчүлүктү аныктайт
1-багыт ("эгер тескерилүүчү болсо, анда $\det \neq 0$"): $A^{-1}$ бар деп ойлойлу. Детерминанттардын мультипликативдүүлүгү боюнча:
$$\det(A)\,\det(A^{-1}) = \det(A\,A^{-1}) = \det(I) = 1$$Демек $\det(A)$ нөлгө барабар боло албайт, жана мындан тышкары:
$$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$$2-багыт ("эгер $\det \neq 0$ болсо, анда тескерилүүчү"): Төмөндөгү аджугат конструкциясы $\det(A) \neq 0$ болгондо $A^{-1}$ ни ачык түрдө курат, бул тескери багытты далилдейт.