1. Баарын баштаган суроо
Негизги суроо
Квадрат матрица $A$ (сызыктуу түрлөндүрүү катары каралган) берилгенде, кайсы нөлдүк эмес векторлор өз багытын сактайт — жөн гана созулуп, кичирейип же тескери багытка бурулуп?
Матрица $A$ векторду $\mathbf{x}$ көбөйткөндө, натыйжа $A\mathbf{x}$ адатта таптакыр башка вектор болот — бурулган, жылдырылган же башка багытка өзгөргөн. Бирок кээ бир өзгөчө векторлор өзүнө параллель чыгат: матрица аларды жөн гана масштабдайт. Булар өздүк векторлор, ал эми масштабдоо коэффициенти өздүк маани деп аталат.
Аныктоочу теңдеме
$$A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$$- $A$ — $n \times n$ (квадрат) матрица.
- $\mathbf{x}$ — нөлдүк эмес вектор — өздүк вектор.
- $\lambda$ — скаляр — өздүк маани.
Эмне үчүн нөлдүк вектор алынып салынат?
Нөлдүк вектор $\mathbf{0}$ теңдемени $A\mathbf{0} = \lambda\mathbf{0}$ ар бир скаляр $\lambda$ жана ар бир матрица $A$ үчүн канааттандырат. Ал матрица жөнүндө эч нерсе айтпайт — «эч нерсени далилдебейт». Ошондуктан аныктама $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ болушун талап кылат.
Бирок нөл өздүк маани катары уруксат!
| Түшүнүк | Статусу | Мааниси |
|---|---|---|
| $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ (нөлдүк вектор) | Алынып салынган | Баарын тривиалдуу канааттандырат; эч кандай маалымат бербейт. |
| $\lambda = 0$ (нөлдүк скаляр) | Уруксат & маанилүү | $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ дегенди билдирет: матрица кээ бир нөлдүк эмес векторлорду нөлгө жөнөтөт. Бул векторлор $A$ матрицасынын ядросунда (нөлдүк мейкиндигинде) жатат. |
Эгерде $\lambda = 0$ өздүк маани болсо, анда $A$ сингулярдуу (тескериленбейт), анткени ал кээ бир нөлдүк эмес векторлорду нөлгө жыйнайт.