1. Мотивация — Чектер бизге эмне үчүн керек?
Негизги суроо
Функциянын кириш мааниси белгилүү бир чекитке жакындаганда, функция кайсы маанини жакындайт — ал чекитте функция аныкталбаса да, же анын аныкталган мааниси "туура эмес" болсо да?
1.1 Чекитте аныкталбаган функция
Төмөнкү функцияны карайлы:
$$ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $$
$x = 1$ болгондо бөлүмү нөлгө барабар, ошондуктан $f(1)$ аныкталбаган. Бирок $x \neq 1$ болгон ар бир маани үчүн көбөйтүндүгө ажыратабыз:
$$ f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \quad (x \neq 1) $$
$x$ $1$-ге барган сайын жакындаганда, $f(x)$ $2$-ге барган сайын жакындайт. Муну мындай жазабыз:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2 $$
Чек функциянын чекиттин жанындагы тенденциясын кармайт, чекиттеги маанисин эмес.
1.2 Мааниси тенденцияга дал келбеген функция
Бөлүктүү функцияны аныктайлы:
$$ g(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{if } x \neq 1 \\ 5 & \text{if } x = 1 \end{cases} $$
Бул жерде $g(1) = 5$, бирок жакын чекиттердин баары үчүн $g(x) = x + 1 \to 2$. Демек $\lim_{x \to 1} g(x) = 2$, $g(1) = 5$ болсо да. Чек менен функциянын мааниси ар башка!
1.3 Графиктик изилдөө
Төмөнкү интерактивдүү график $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ функциясын көрсөтөт. $(1, 2)$ чекитиндеги тешикке көңүл буруңуз — функция ал жерде аныкталбаган, бирок график ошол чекитке ачык жакындайт.
2. Эпсилон–Дельта ($\varepsilon$–$\delta$) аныктамасы
$f$ функциясы $a$ чекитин камтыган ачык аралыкта аныкталсын, $a$ чекитинин өзүндө аныкталбашы мүмкүн. Биз
$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$
деп айтабыз, эгерде ар бир $\varepsilon > 0$ үчүн ошондой $\delta > 0$ бар болсо, анда