Квадраттык формалар
Көп мүчөдөн матрицага жана кайра — менчик маанилер, башкы октор, аныкталгандык жана экинчи даражадагы беттердин геометриясы
1. Квадраттык форма деген эмне?
1.1 Объект
Квадраттык форма — бул бир нече өзгөрмөлүү экинчи даражадагы бир тектүү көп мүчө. «Бир тектүү» дегенибиз — ар бир мүчөнүн жалпы даражасы так 2ге барабар, сызыктуу мүчөлөр жана туруктуу сан жок.
$$ Q(x_1,x_2) = 3x_1^2 - 4x_1 x_2 + 5x_2^2 $$ $$ Q(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 - 6x_1 x_2 + 4x_1 x_3 - 2x_2 x_3 $$
Сиз буларды коникалык теңдемелердин таза квадраттык бөлүктөрү катары мурда кездештиргенсиз. Мисалы, $3x^2 - 4xy + 5y^2 + 2x - 7y + 1 = 0$ теңдемесинин ичинде $3x^2 - 4xy + 5y^2$ квадраттык формасы бар. Ошол квадраттык бөлүктү изилдөө коник сызык эллипс, гипербола же парабола экенин аныктайт.
1.2 Матрицалык көрсөтүлүшү — Киргизүү эрежеси
Ар бир квадраттык форманы кыскача мындай жазууга болот:
$$ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A\, \mathbf{x} $$мында $A$ — симметриялуу $n \times n$ матрица жана $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$.
- $x_i^2$ нин коэффициенти диагоналдык элемент $a_{ii}$ ге жазылат.
- Аралаш мүчө $x_i x_j$ ($i \neq j$ болгондо) нин коэффициенти экиге бөлүнөт: $\frac{\text{коэффициент}}{2}$ $(i,j)$ позициясына жана $(j,i)$ позициясына жазылат.
Бул $A = A^T$ (симметриялуу) болушун кепилдейт. Экиге бөлүү — бул киргизүү эрежеси, аны эч качан калтырбаңыз.
Эмне үчүн симметриялуу? Каалаган $B$ матрица анын симметриялуу бөлүгү $A = \frac{B + B^T}{2}$ менен бирдей квадраттык форма берет, анткени $\mathbf{x}^T B \mathbf{x} = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$. Ошондуктан биз дайыма симметриялуу өкүлдү колдонобуз — бүт теория (менчик маанилер, спектралдык теорема, аныкталгандык) симметрияга негизделет.
1.3 Көп мүчө → Матрица (Эки өзгөрмө)
$Q(x_1,x_2) = ax_1^2 + bx_1 x_2 + cx_2^2$ берилсе, матрица:
$$ A = \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix} $$Конкреттүү мисал: $Q = 5x_1^2 - 6x_1 x_2 + 2x_2^2$
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} $$Текшерүү: $\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 5x_1^2 - 3x_1 x_2 - 3x_2 x_1 + 2x_2^2 = 5x_1^2 - 6x_1 x_2 + 2x_2^2$. ✓
1.4 Матрица → Көп мүчө (Үч өзгөрмө)
$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ берилсе, окуп чыгабыз:
- Диагоналдык элементтер квадраттык мүчөлөрдү берет: $1 \cdot x_1^2 + 4 \cdot x_2^2 + (-1) \cdot x_3^2$
- Диагоналдан тышкаркы элемент $a_{12} = -2$ аралаш мүчөнүн коэффициентин берет: $2 \times (-2) = -4$ $x_1 x_2$ үчүн
- $a_{13} = 3$ $x_1 x_3$ үчүн $2 \times 3 = 6$ берет
- $a_{23} = 0$ $x_2 x_3$ үчүн $0$ берет