1. Эмне үчүн комплекстүү сандар? — Тарыхый жана логикалык негиздеме
Негизги суроо: Теңдеменин чыныгы чечими жок болгондо эмне болот? Көп кылымдар бою математиктер жөн гана «чечим жок» деп айтышкан. Бирок акыры математиканын өзү аларды жаңы түрдөгү санды ойлоп табууга мажбурлады.
1.1 Сандар системасынын тепкичтери (Эстеп калуу)
Сиз бул тепкичтерди Сандык топтомдор темасында өтүп чыккансыз. Ар бир тепкич мурунку сандар топтому кээ бир теңдемелерди чече албагандыктан курулган:
| Сандар топтому | Белгиси | Чечкен теңдемеси | Чектелиши |
|---|---|---|---|
| Натуралдык сандар | $\mathbb{N}$ | $x + 3 = 7$ | $x + 7 = 3$ теңдемесинин чечими жок |
| Бүтүн сандар | $\mathbb{Z}$ | $x + 7 = 3$ | $2x = 5$ теңдемесинин чечими жок |
| Рационалдык сандар | $\mathbb{Q}$ | $2x = 5$ | $x^2 = 2$ теңдемесинин чечими жок |
| Чыныгы сандар | $\mathbb{R}$ | $x^2 = 2$ | $x^2 = -1$ теңдемесинин чечими жок |
| Комплекстүү сандар | $\mathbb{C}$ | $x^2 = -1$ ✓ | Ар бир полиномдук теңдеменин тамыры бар! |
Комплекстүү сандар бул тепкичтин кийинки баскычы — жана, таң калыштуусу, полиномдук теңдемелерди чечүү үчүн бизге керек болгон акыркы баскыч.
1.2 Чыныгы окуя: Квадраттык эмес, кубдук теңдемелер
Сиз комплекстүү сандар $x^2 + 1 = 0$ теңдемесин чечүүгө аракет кылган бирөө тарабынан ойлоп табылган деп ойлошуңуз мүмкүн. Бирок андай болгон эмес. Чыныгы тамырлары жок квадраттык теңдемени жөн гана четке кагууга болот: «чечим жок.» Ал үчүн жаңы сандарды ойлоп табуунун кереги жок эле.