Функциялардын Монотондуулугу жана Экстремумдары
Алгебралык ыкма (Туунду талап кылынбайт)
Эмне үчүн бул маанилүү: Функция качан өсөрүн, качан кемирин же чокуга/өрөөнгө жетерин түшүнүү — алгебрадагы эң күчтүү идеялардын бири. Бул сабакта бардык далилдер таза алгебралык — эч кандай математикалык анализ керек эмес. Сиз монотондуулукту аныктамадан далилдөөнү, толук квадратка келтирүү жана AM–GM теңсиздиги аркылуу экстремумдарды табууну, ошондой эле монотондуулукту теңдемелерди жана теңсиздиктерди чечүүдө колдонууну үйрөнөсүз.
1. Монотондуулуктун аныктамалары
Негизги аныктамалар
$f$ функциясы $X$ көптүгүндө аныкталсын жана $I \subseteq X$ интервал болсун.
| Термин | Шарт ($x_1 < x_2$ болгон бардык $x_1, x_2 \in I$ үчүн) | Түрү |
|---|---|---|
| Так өсүүчү | $f(x_1) < f(x_2)$ | Так |
| Так кемүүчү | $f(x_1) > f(x_2)$ | Так |
| Кемибөөчү (начар өсүүчү) | $f(x_1) \le f(x_2)$ | Так эмес |
| Өспөөчү (начар кемүүчү) | $f(x_1) \ge f(x_2)$ | Так эмес |
Эгерде функция $I$ интервалынын бүтүндөй узундугунда ушул төрт шарттын бирин канааттандырса, ал $I$ интервалында монотондуу деп аталат.
Так жана так эмес: Так өсүүчү функция эч качан бир эле маанини эки жолу кабыл албайт — оңго карай ар бир кадам так жогорураак натыйжа берет. Кемибөөчү функцияда $x_1 < x_2$ болсо да $f(x_1) = f(x_2)$ болгон "тегиз" бөлүктөр болушу мүмкүн. Мисалы, бүтүн бөлүк функциясы $f(x) = \lfloor x \rfloor$ кемибөөчү, бирок так өсүүчү эмес.
Бүт аныктоо аймагында жана кичи интервалдарда монотондуулук: Функция бүт аныктоо аймагында монотондуу болушу мүмкүн (мисалы, $f(x) = 2x + 3$ бүт $\mathbb{R}$ боюнча так өсүүчү), же белгилүү кичи интервалдарда гана монотондуу болушу мүмкүн. Мисалы, $f(x) = x^2$ $(-\infty, 0]$ интервалында так кемүүчү жана $[0, +\infty)$ интервалында так өсүүчү, бирок бүт $\mathbb{R}$ боюнча монотондуу эмес.