Даражалык катарлар жана конвергенция радиусу
Геометриялык катар прототибинен толук конвергенция куралдарына чейин
1. Даражалык катар деген эмне?
Даражалык катар — бул мүчөлөрү коэффициенттерге өзгөрмөнүн даражаларын көбөйтүү менен алынган чексиз катар. Эң жөнөкөй (баштапкы чекитке борборлоштурулган) формасы:
Жалпы учурда, $a$ чекитине борборлоштурулган даражалык катар (жылдырылган форма) мындай болот:
Бул жерде ар бир $a_n$ — белгиленген реалдуу сан (коэффициент), ал $n$-ге көз каранды болушу мүмкүн, бирок $x$-ке көз каранды эмес. $a$ чекити катардын борбору деп аталат.
🔑 Негизги идея: Чекиттерди катарларга айландыруучу машина
Даражалык катарды машина катары элестетиңиз. Сиз ага $x$ санын берсеңиз, ал сандык катарды — туруктуулардын суммасын — чыгарат, ал конвергенцияланат же дивергенцияланат. Негизги суроо:
Геометриялык даражалык катар — биздин прототибибиз
Эң жөнөкөй жана эң маанилүү даражалык катар — геометриялык катар:
Геометриялык катарларды мурунку изилдөөбүздөн билебиз: бул катар так $|x| < 1$ болгондо конвергенцияланат жана $|x| \geq 1$ болгондо дивергенцияланат. Конвергенция жыйындысы — ачык интервал $(-1, 1)$.
Бул бизге конвергенция радиусу $R = 1$ экенин айтат. Катар борбордон (баштапкы чекиттен) $1$ аралыктагы бардык $x$ үчүн конвергенцияланат жана андан алыстагы бардык $x$ үчүн дивергенцияланат. Бул мындан кийинки бардык нерселер үчүн үлгү болуп кызмат кылат.