Бир нече өзгөрмөлүү функциялардын чектери жана үзгүлтүксүздүгү
Бир өзгөрмөлүү интуициядан көп өзгөрмөлүү анализдин бай дүйнөсүнө
Аныктаманын жаңыртылышы: Интервалдардан дисктерге
Эстеп көрөлү: Бир өзгөрмөлүү аныктама
Бир өзгөрмөлүү анализде, $\lim_{x \to a} f(x) = L$ деп айтабыз, эгерде ар бир $\varepsilon > 0$ үчүн $\delta > 0$ бар болсо, мындай шартта:
$$ 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon $$$0 < |x - a| < \delta$ шарты өчүрүлгөн интервалды сүрөттөйт — $a$ чекитинен $\delta$ аралыктагы чекиттердин жыйындысы, $a$ чекитинин өзүн кошпогондо. Сиз $a$ чекитине эки гана багыттан жакындай аласыз: солдон жана оңдон.
Жаңыртуу: Эки өзгөрмө
$f(x,y)$ функциясы үчүн, $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = L$ деп айтабыз, эгерде ар бир $\varepsilon > 0$ үчүн $\delta > 0$ бар болсо, мындай шартта:
$$ 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \implies |f(x,y) - L| < \varepsilon $$🔑 Бир гана структуралык өзгөрүү
Сан сызыгындагы өчүрүлгөн интервал $0 < |x - a| < \delta$ тегиздиктеги $(x_0, y_0)$ борборлуу $\delta$ радиустагы өчүрүлгөн ачык диск (өчүрүлгөн чөйрө) менен алмаштырылат. Аралык эми Евклид аралыгы $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$ менен өлчөнөт. Калган нерселердин баары — логикалык структура, $\varepsilon$ менен $\delta$ нин ролу — бирдей.
⚠️ Талашсыз талап
$L$ чеги $(x_0, y_0)$ чекитине жакындоонун бардык жолдору үчүн иштеген бирдиктүү сан болушу керек. Ал багытка, жолго же $(x,y)$ чекитке кантип жеткенине көз каранды болбошу керек. Бул аныктаманын өзөгү.
Өчүрүлгөн чөйрөнү визуализациялоо
Бир өзгөрмө: Өчүрүлгөн интервал
Эки өзгөрмө: Өчүрүлгөн диск