1. Үчтүк интегралдын аныктамасы
Сиз бул конструкцияны мурда эки жолу көргөнсүз. Бир өлчөмдүү интеграл үчүн аралыкты кичинекей бөлүктөргө бөлдүңүз, тандоо чекиттерин алдыңыз, суммаладыңыз жана чекке өттүңүз. Кош интеграл үчүн жалпак аймакты кичинекей тик бурчтуктарга (уячаларга) бөлдүңүз, тандоо чекиттерин алдыңыз, суммаладыңыз жана чекке өттүңүз. Үчтүк интеграл ушул эле калыпты дагы бир өлчөм менен кайталайт: биз катуу денени кичинекей үч өлчөмдүү уячаларга (кичинекей кутучаларга) бөлөбүз, ар бир уячанын ичиндеги тандоо чекитинде функцияны эсептейбиз, суммалайбыз жана уячалар нөлгө жакындаганда чекке өтөбүз. Структуралык жактан жаңы эч нерсе жок — жөн гана дагы бир өлчөм.
Расмий түрдө, $f(x,y,z)$ функциясы $B = [a,b]\times[c,d]\times[p,q]$ кутусунда үзгүлтүксүз болсун. Ар бир аралыкты $\Delta x_i$, $\Delta y_j$, $\Delta z_k$ туурасындагы кичи аралыктарга бөлүп, $\Delta V = \Delta x_i\,\Delta y_j\,\Delta z_k$ көлөмдүү кичи кутучаларды түзөбүз. Ар бир кичи кутучадан $(x_{ijk}^*,\,y_{ijk}^*,\,z_{ijk}^*)$ тандоо чекитин тандайбыз. Анда:
$$\iiint_B f(x,y,z)\,dV = \lim_{m,n,\ell\to\infty} \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{\ell} f(x_{ijk}^*,\,y_{ijk}^*,\,z_{ijk}^*)\,\Delta V$$Бул аныктама тик бурчтук эмес катуу аймактар $S$ үчүн да табигый түрдө кеңейтилет: $S$ ды кутуга камтып, $S$ тин сыртында $f=0$ деп коёбуз.
- Мейкиндик тыгыздыгынан масса. Эгерде $f(x,y,z) = \rho(x,y,z)$ масса тыгыздыгы (бирдик көлөмгө масса) болсо, анда $\iiint_S \rho\,dV$ катуу дене $S$ нин жалпы массасын берет. Бул негизги физикалык чечмелөө.
- Катуу дененин көлөмү. $f(x,y,z) = 1$ деп коёбуз. Анда $\iiint_S 1\,dV = \text{Көлөм}(S)$. Туруктуу функция $1$ — бул теманын негизги куралы — ал үчтүк интегралды көлөм эсептегичке айландырат.
- Эмне үчүн "беттин астындагы көлөм" эмес? Кош интеграл $\iint_R f(x,y)\,dA$ $z=f(x,y)$ бетинин астындагы көлөм катары окулушу мүмкүн. Үчтүк интеграл үчүн ушундай чечмелөө төртүнчү мейкиндик өлчөмүн талап кылмак — биз муну чынчылдык менен четке кагабыз. Бизде "гиперберттин астындагы көлөм" сүрөтү жок.