Аныкталган Интегралдар: Риман Суммаларынан Ньютон–Лейбницке
Анализдин Фундаменталдык Теоремасы — тик бурчтуктардан математикадагы эң күчтүү формулага
1. Аянт Маселеси жана Риман Суммалары
1.1 Бөлүштүрүүлөр
$x = a$ дан $x = b$ ге чейин $y = f(x) \ge 0$ ийри сызыгынын астындагы аянтты табууну каалайбыз дейли. Биз $[a,b]$ аралыгын $n$ бөлүккө бөлүүдөн баштайбыз.
Аныктама (Бөлүштүрүү). $[a,b]$ аралыгынын бөлүштүрүүсү — бул чектүү чекиттер жыйындысы
$$P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n\} \quad\text{мында}\quad a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b.$$
Кичи аралыктардын туурасы $\Delta x_k = x_k - x_{k-1}$, ал бөлүштүрүүнүн торчосу (же нормасы) $\|P\| = \max_k \Delta x_k$.
1.2 Тандалма Чекиттер жана Риман Суммалары
Ар бир $[x_{k-1}, x_k]$ кичи аралыгында тандалма чекитти (же белгини) $c_k$ тандайбыз. Ошол кичи аралыктагы тик бурчтуктун туурасы $\Delta x_k$, бийиктиги $f(c_k)$.
Аныктама (Риман Суммасы).
$$S(f,P,\{c_k\}) = \sum_{k=1}^{n} f(c_k)\,\Delta x_k$$
$c_k$ үчүн кеңири колдонулган тандоолор:
- Сол учтук чекиттер: $c_k = x_{k-1}$
- Оң учтук чекиттер: $c_k = x_k$
- Ортоңку чекиттер: $c_k = \tfrac{x_{k-1}+x_k}{2}$
1.3 Тактоо жана Чектик Идея
Торчону $\|P\|$ кичирейткен сайын (бирдей туурадагы бөлүштүрүүлөр үчүн $n \to \infty$), тик бурчтуктар ийри сызыкка дагы тыгыз жайгашат. Риман суммасы бир санга жакындайт — бул сан бөлүштүрүүнү жана тандалма чекиттерди кандай тандабасак да бирдей болушу шартында.
Аныктама (Аныкталган Интеграл). Эгерде ар бир $\varepsilon > 0$ үчүн $\delta > 0$ бар болуп,
$$\left|\sum_{k=1}^{n} f(c_k)\,\Delta x_k - I\right| < \varepsilon$$
$\|P\| < \delta$ болгондо,