Жайгаштыруулар: $n$ объекттен $k$ объектти тандоо менен орун алмаштыруулар
$k$-орун алмаштыруулар деп да аталат, $P(n,k)$ же $A(n,k)$ деп белгиленет
Алдын ала билим: Сиз факториалдар ($n!$) жана $n$ объекттин толук орун алмаштырууларын жакшы билишиңиз керек. Бул сабакта ошол идеяларды $n$ объекттен $k$ объектти тандоо жана иреттөө үчүн кеңейтебиз.
1. Кайталоосуз иреттелген тандоо деген эмне?
Элестетиңиз, сизде $n$ түрдүү объект бар жана алардын ичинен $k$ объектти тандагыңыз келет, тандоо тартиби маанилүү жана бир объектти эки жолу тандоого болбойт. Мындай ар бир иреттелген тандоо $n$ объекттин $k$-орун алмаштыруусу (же жайгаштыруусу) деп аталат.
Негизги идея: $k$-орун алмаштыруу бир эле учурда эки нерсени эсептейт — кайсы $k$ объектти тандаганыңызды жана аларды кандай тартипте жайгаштырганыңызды.
Күнүмдүк мисалдар
| Жагдай | $n$ | $k$ | Тартип эмне үчүн маанилүү |
|---|---|---|---|
| 10 спортчунун 3өөнө алтын, күмүш жана коло медалдарды тапшыруу | 10 | 3 | Алтын–Күмүш–Коло менен Күмүш–Алтын–Коло ар башка |
| 8 клуб мүчөсүнөн төрага, орун басар жана казначей тандоо | 8 | 3 | Ар бир кызмат орду ар башка |
| 26 түрдүү тамгадан 4 тамгалуу "сөз" түзүү (кайталоосуз) | 26 | 4 | АБВГ ≠ ГВБА |
| 5 адамды 3 номерленген отургучка отургузуу | 5 | 3 | 1-отургуч менен 2-отургуч жана 3-отургуч ар башка орундар |
2. Көбөйтүү принциби аркылуу формуланы чыгаруу
$k$ орунду бирден толтурабыз:
| Орун | Жеткиликтүү тандоолор |
|---|---|
| 1-чи | $n$ |
| 2-чи | $n-1$ |
| 3-чү | $n-2$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ |
| $k$-чы | $n - k + 1$ |
Көбөйтүү (көбөйтүндү) эрежеси боюнча:
$$ P(n,k) = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) $$Бул $n$ ден баштап кемүү тартибинде так $k$ катар сандын көбөйтүндүсү.
Кыскартылган факториалдык форма
$(n-k)!$ ка көбөйтүп жана бөлөбүз:
$$ P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} $$
Бул эмне үчүн иштейт? Алымдагы $n!$ $n$ ден $1$ ге чейинки бардык көбөйтүүчүлөрдү камтыйт. $(n-k)!$ ка бөлүү $(n-k)(n-k-1)\cdots 2 \cdot 1$ көбөйтүүчүлөрүн кыскартат, так $k$ көбөйтүүчү $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ калтырат.
Тез чыгаруу диаграммасы
$P(5,3)$ үчүн:
$$ P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60 \quad\text{же тең маанилүү}\quad \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60 $$