Чексиз Катар Деген Эмне?
Негизги Идея: Чексиз катар — бул чексиз көп сандарды бирден кийин бирин кошуу эмес. Бул жарым-жартылай суммалар ырааттуулугунун чеги. Сумма — бул чек, жана ушул бир гана кайра түшүнүү «чексиз нерселерди кошуу» жөнүндөгү бардык парадокстарды чечет.
Расмий Аныктама
$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ ырааттуулугу берилсин, $N$-чи жарым-жартылай сумманы аныктайлы
$$ S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N = \sum_{n=1}^{N} a_n. $$$\{S_1, S_2, S_3, \ldots\}$ ырааттуулугу — биз мурунтан эле изилдөөнү билген кадимки ырааттуулук. Катар $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ жакындайт (конвергенцияланат) деп айтабыз, эгерде жана эгерде гана $\{S_N\}$ ырааттуулугу чектүү $S$ чегине жакындаса:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = S \;\;\Longleftrightarrow\;\; \lim_{N\to\infty} S_N = S. $$Эгерде $\{S_N\}$ ажыраса ($\pm\infty$ га кетсе же термелсе), катар ажырайт (дивергенцияланат) деп айтабыз.
Ырааттуулуктарга кайрылуу: Ырааттуулуктардын чектери жөнүндө үйрөнгөнүңүздүн баары — кысуу теоремасы, монотондук жакындоо, чектердин алгебрасы — азыр түздөн-түз колдонулат, анткени катардын жакындоосу — бул $\{S_N\}$ ырааттуулугунун жакындоосу.
Биринчи Мисал: Геометриялык Катар
$a \neq 0$ болгондо $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ катарын карайлы. Жарым-жартылай сумманын жабык формасы бар (геометриялык прогрессиянын формуласын эстеңиз):
$$ S_N = a\,\frac{1 - r^{N+1}}{1 - r}, \qquad r \neq 1. $$Эми чекти табалы:
- Эгерде $|r| < 1$ болсо, анда $r^{N+1} \to 0$, демек $S_N \to \dfrac{a}{1-r}$. Катар жакындайт.