1. Негизги суроо
Бир векторду башкалар аркылуу качан туюнтууга болот?
Элестеткиле, силерде векторлордун үй-бүлөсү $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}$ бар. Табигый суроо пайда болот: бул векторлордун кайсынысы болбосун ашыкчабы — башкача айтканда, аны калган векторлордун айкалышы катары жазууга болобу?
Мисалы, эгерде $\mathbf{v}_3 = 2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2$ болсо, анда $\mathbf{v}_3$ $\mathbf{v}_1$ жана $\mathbf{v}_2$ ге «көз каранды». Бирок бул формулировка $\mathbf{v}_3$ ту артыкчылыктуу кылат — бир векторду «көз каранды» деп бөлүп көрсөтөт. Ошол эле байланышты симметриялуу түрдө кайра жазууга болот:
$$ 2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_3 = \mathbf{0} $$Эми эч бир вектор бөлүнүп көрсөтүлгөн жок. Бул бардык векторлорду бирдей карай турган симметриялуу аныктамага алып келет.
📌 Негизги аныктамалар
Сызыктуу көз карандылык
Векторлордун үй-бүлөсү $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}$ сызыктуу көз каранды деп аталат, эгерде $c_1, c_2, \ldots, c_k$ скалярлары бар болуп, алардын баары бирдей нөлгө барабар эмес, мында:
$$ c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} $$Сызыктуу көз карандысыздык
Векторлордун үй-бүлөсү $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}$ сызыктуу көз карандысыз деп аталат, эгерде теңдеменин
$$ c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} $$жалгыз тривиалдуу чечими $c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$ болсо.
- Көз карандылык = коэффициенттердин жок дегенде бир тандоосу бар, алардын баары нөл эмес, айкалышты нөлгө айландырат.
- Көз карандысыздык = айкалышты нөлгө айландыра турган коэффициенттердин жалгыз тандоосу — баары нөл болгон тандоо.
Тривиалдуу айкалыш (бардык $c_i = 0$) каалаган векторлор жыйындысы үчүн дайыма $\mathbf{0}$ берет. Бул көз карандылыктын далили эмес! Көз карандылык үчүн $\mathbf{0}$ берген тривиалдуу эмес айкалыш керек.