Орун алмаштыруулар
Иреттелген жайгашууларды саноо — Ар бир орун маанилүү
1. Орун алмаштыруу деген эмне?
Орун алмаштыруу — бул объекттердин иреттелген жайгашуусу. Эң негизги идея — ирет маанилүү.
Негизги идея: Эгер ошол эле объекттерди башка тартипте жайгаштырсаңыз, башка орун алмаштырууну аласыз.
$\{A, B, C\}$ көптүгүн карап көрөлү. Үч тамганы канча жол менен катарга тизсе болот?
| # | Жайгашуу |
|---|---|
| 1 | A B C |
| 2 | A C B |
| 3 | B A C |
| 4 | B C A |
| 5 | C A B |
| 6 | C B A |
Бардыгы 6 орун алмаштыруу бар. Байкаңыз, ABC жана BAC бирдей тамгалардан турат, бирок тартиби башка болгондуктан, алар өзүнчө эсептелет.
Кызыктуу факт: "Комбинациялуу кулпу" чындыгында орун алмаштыруу кулпусу деп аталышы керек — сандарды киргизүү тартиби абдан маанилүү! 3-7-1 киргизүү 1-3-7 менен бирдей эмес.
2. Факториал функциясы
Терс эмес бүтүн сан $n$ нин факториалы, $n!$ деп жазылат, $1$ ден $n$ ге чейинки бардык оң бүтүн сандардын көбөйтүндүсү:
$$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1 $$
Бул $n$ ар түрдүү объектти катарга жайгаштыруунун жолдорунун санын эсептейт.
Кеңири колдонулган факториал маанилери
| $n$ | $n!$ | Эсептөө |
|---|---|---|
| 0 | 1 | (аныктама боюнча) |
| 1 | 1 | $1$ |
| 2 | 2 | $2 \times 1$ |
| 3 | 6 | $3 \times 2 \times 1$ |
| 4 | 24 | $4 \times 3 \times 2 \times 1$ |
| 5 | 120 | $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$ |
| 6 | 720 | $6!$ |
| 10 | 3,628,800 | $10!$ |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 | $20!$ — 2 квадриллиондон ашык! |
Эмне үчүн $0! = 1$? Бул кокустук эмес — нөл объектти жайгаштыруунун так бир жолу бар: эч нерсе кылбоо. Ошондой эле $P(n,0) = \frac{n!}{n!} = 1$ сыяктуу формулаларды ырааттуу кылат.
⚠️ Факториалдар укмуштуудай тез өсөт! $20!$ мурунтан эле 2 квадриллиондон ашат. Бул жарылуучу өсүш — жөнөкөй саноо маселелери да абдан чоң сандарды бере алат.