Дифференциалдуулук — Аныктаманы Талдоо
Эстеп алыңыз: Бир өзгөрмөлүү тек-атасы
Бир өзгөрмөлүү анализде туунду $f'(a)$ — бул өсүндүнү так бөлүп берген сан:
$$ \Delta y = f(a+\Delta x)-f(a) = f'(a)\,\Delta x + \varepsilon\,\Delta x, \qquad \varepsilon \to 0 \text{ as } \Delta x \to 0. $$Сызыктуу бөлүк $f'(a)\,\Delta x$ — эң жакшы сызыктуу жакындаштыруу; калдык $\varepsilon\,\Delta x$ $|\Delta x|$-тен тезирээк нөлгө умтулат. Бул — биз эми эки өзгөрмөгө жаңыртчу үлгү.
Аныктама — $(x_0,y_0)$ чекитинде дифференциалдуулук
$z = f(x,y)$ функциясы $(x_0,y_0)$ чекитин камтыган ачык көптүктө аныкталсын жана жеке туундулар $f_x(x_0,y_0)$ менен $f_y(x_0,y_0)$ бар болсун. Толук өсүндүнү мындай жазабыз:
$$ \Delta z = f(x_0+\Delta x,\, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0). $$Эгерде төмөнкү шарт аткарылса, $f$ функциясы $(x_0,y_0)$ чекитинде дифференциалдуу деп айтылат:
$$ \Delta z = \underbrace{f_x(x_0,y_0)\,\Delta x + f_y(x_0,y_0)\,\Delta y}_{\text{сызыктуу бөлүк}} \;+\; \underbrace{E_x\,\Delta x + E_y\,\Delta y}_{\text{калдык}}, $$мында $E_x \to 0$ жана $E_y \to 0$, качан $(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)$.
Туундунун ролун эмне аткарат? Бир өзгөрмөдө туунду — бул жалгыз сан $f'(a)$. Бул жерде чекитте эсептелген жуп $(f_x, f_y)$ ошол ролду аткарат — булар сызыктуу бөлүктүн коэффициенттери, жана алар дифференциалдуулук шарты менен бирдиктүү аныкталат.
"Калдыктын кичинелиги" эмнени талап кылат? Ката мүчөлөрү $E_x$ жана $E_y$ ар бири $\|(\Delta x,\Delta y)\| \to 0$ болгондо нөлгө умтулушу керек. Башкача айтканда, калдык $R = \Delta z - f_x\,\Delta x - f_y\,\Delta y$ төмөнкүнү канааттандырат:
$$ \frac{|R|}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} \;\longrightarrow\; 0 \quad \text{качан } (\Delta x,\Delta y)\to(0,0). $$
Калдык чекитке чейинки