Беттик Интегралдар — Биринчи жана Экинчи Түрү
Жалпы Сүрөт: Сиз ийри сызыктар боюнча интегралдоону (сызыктык интегралдар) мурунтан эле билесиз. Эми биз өлчөмдү бир баскычка көтөрөбүз: үч өлчөмдүү мейкиндикте жайгашкан беттер боюнча интегралдайбыз. Эки түрү пайда болот — бири бетти скалярдык тыгыздык менен өлчөйт (биринчи түр), экинчиси вектордук талаанын канчасы беттен өтөөрүн өлчөйт (экинчи түр, агым деп аталат).
1Биринчи Түр — Скалярдык Беттик Интегралдар
1.1 Сиз Мурунтан Билген Үлгү
Жука ийри кабыкты элестетиңиз — чыракчанак, күмбөз, жумуртка кабыгынын бөлүгү — белгилүү аянттык масса-тыгыздыгы $\sigma(x,y,z)$ (бирдик аянтка масса) менен. Кабыктын жалпы массасын табуу үчүн беттин ар бир кичинекей бөлүгү боюнча $\sigma\,dS$ кошуу керек. Бул так ошол үлгү, аны сиз мурда төрт жолу көргөнсүз:
| Объект | Тыгыздык түрү | Элемент | Интеграл берет |
|---|---|---|---|
| Зым (1-Ө) | сызыктык $\lambda$ | $ds$ | $\int_C \lambda\,ds$ |
| Жалпак пластина (2-Ө) | аянттык $\sigma$ | $dA$ | $\iint_R \sigma\,dA$ |
| Катуу дене (3-Ө) | көлөмдүк $\rho$ | $dV$ | $\iiint_E \rho\,dV$ |
| Ийри кабык (3-Ө ичиндеги 2-Ө) | аянттык $\sigma$ | $dS$ | $\displaystyle\iint_S \sigma\,dS$ |
Жалгыз жаңы ингредиент — бет аянтынын элементи $dS$ — калган конструкция ошол эле кайталануучу үлгү.
1.2 Параметрдик Түрдө Сүрөттөлгөн Бет
Чагылдыруулар жөнүндө окуганыңызды эстеңиз: параметрдик бет — бул функция
$$\mathbf{r}(u,v) = \bigl\langle x(u,v),\; y(u,v),\; z(u,v)\bigr\rangle, \qquad (u,v)\in D\subseteq\mathbb{R}^2$$