Жарым-жартылай туундулар: Аныктама жана Эсептөө
Бир өзгөрмө бошотулду, калгандары тоңдурулду — кадимки туунду жогорку өлчөмдөрдө кайра жаралды
1. Аныктама — Берилген Убада
Негизги Идея
Бир өзгөрмөлүү анализде сиз туундуну айырма бөлүгүнүн чеги катары үйрөнгөнсүз:
$$ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$Эми функция эки (же андан көп) өзгөрмөгө көз каранды болсун: $z = f(x,y)$. Биз сурайбыз: $y$ тоңдурулган абалда, $x$ гана жылдырылганда $f$ канчалык тез өзгөрөт?
Аныктама. $f$ функциясынын $x$ боюнча жарым-жартылай туундусу — бул $y = b$ тоңдурулганда алынган бир өзгөрмөлүү функция $g(x) = f(x, b)$ нин кадимки туундусу:
$$ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,\, b) - f(a,\, b)}{h} $$
Ошондой эле $y$ үчүн:
$$ \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a,\, b+h) - f(a,\, b)}{h} $$
Эске салуу: Буларды бир өзгөрмөлүү айырма бөлүгү менен салыштырыңыз — жалгыз айырмачылык: бир өзгөрмө ордунда турат, экинчиси $h$ га жылат. Чек механизми бирдей.
Белгилөө — Эки Салт
| Стиль | $x$ боюнча жарым-жартылай | $y$ боюнча жарым-жартылай | Кантип окулат |
|---|---|---|---|
| Лейбниц (тегеректелген d) | $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ | $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ | "$f$ нин $x$ боюнча жарым-жартылай туундусу" |
| Индекс | $f_x$ | $f_y$ | "$f$ индекс $x$" |
| Чекитте | $f_x(a,b)$ же $\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(a,b)}$ | $f_y(a,b)$ | "$f$ нин $x$ боюнча жарым-жартылай туундусу $(a,b)$ чекитинде" |
$\partial$ символу (тегеректелген "d") $d$ менен бирдей эмес; ал башка өзгөрмөлөр туруктуу кармалып жатканын билдирет.
Чекиттеги Маани жана Жарым-жартылай Туунду Функциясы
Бир өзгөрмөлүү анализде $f'(a)$ (сан) менен $f'(x)$ (функция) ортосунда айырмалагандай, биз да айырмалайбыз:
- $f_x(a,b)$ — жалгыз сан, $(a,b)$ конкреттүү чекитиндеги жантык.
- $f_x(x,y)$ — эки өзгөрмөлүү жаңы функция, чек бар болгон ар бир чекитте жантыкты берет.