1. Объект: Ийилген Зымдын Массасы
Кайтып эстөө — тыгыздыктан жалпы чоңдукка өтүү механизми: Сиз бир өзгөрмөлүү анализде кесүү рецептин көргөнсүз: аралыкты кичинекей бөлүктөргө бөлүү, тыгыздыкты кичинекей узундукка көбөйтүү, суммалоо жана чекке өтүү. Эми биз ошол эле механизмди түз аралыктын ордуна ийри сызыкта колдонобуз.
1.1 Физикалык Сүрөт
Мейкиндикте $C$ ийри сызыгы боюнча ийилген ичке зымды элестетиңиз. Зымдын ар бир $(x,y,z)$ чекитинде сызыктык тыгыздык (узундук бирдигине масса) $\rho(x,y,z)$ болсун. Жалпы массаны кантип табабыз?
- Кесүү: зымды $n$ кичинекей жааларга бөлөбүз, ар биринин узундугу $\Delta s_i$.
- Ар бир жаада үлгү чекит $P_i^*$ тандап, тыгыздыкты $\rho(P_i^*)$ окуйбуз.
- Көбөйтүү: $i$-чи бөлүктүн массасы $\approx \rho(P_i^*)\,\Delta s_i$.
- Суммалоо: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\rho(P_i^*)\,\Delta s_i$.
- Чекке өтүү: $n\to\infty$ (бардык $\Delta s_i\to 0$).
Аныктама — Биринчи Түрдөгү Сызыктык Интеграл
$$\int_C f(x,y,z)\,ds \;=\; \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(P_i^*)\,\Delta s_i$$
Өлчөм — жаа узундугунун элементи $ds$. Интегралдын астындагы $f$ — ийри сызыкта бааланган скалярдык функция.
1.2 Босогодо Чогултулган Маалыматтар
| Физикалык / Геометриялык Чоңдук | Интегралдын астындагы $f$ | Интеграл |
|---|---|---|
| Зымдын жалпы массасы | $\rho(x,y,z)$ (сызыктык тыгыздык) | $m = \displaystyle\int_C \rho\,ds$ |
| Жиптеги жалпы заряд | $\lambda(x,y,z)$ (заряд тыгыздыгы) | $Q = \displaystyle\int_C \lambda\,ds$ |
| Жол боюнча орточо температура | $T(x,y,z)$ | $\bar{T} = \dfrac{1}{L}\displaystyle\int_C T\,ds$ |
| Жаа узундугунун өзү | $f \equiv 1$ | $L = \displaystyle\int_C 1\,ds$ |
Бирдик-үлгү кайтып эстөө (үчүнчү жолу): Каалаган өлчөм боюнча интегралда $f=1$ коюу аймактын өлчөмүн берет. Жаа узундугу үчүн: $\int_C 1\,ds = \text{узундук}(C)$. Сиз ошол эле үлгүнү $\int_a^b 1\,dx = b-a$ жана $\iint_D 1\,dA = \text{Аянт}(D)$ менен көргөнсүз.