Бирдик тегерек

Тригонометриялык функцияларды бардык реалдуу сандар үчүн аныктоо үчүн, биз бирдик тегеректен баштайбыз — борбору координаталар башталышында жана радиусу 1 болгон тегерек.

Каалаган реалдуу сан $t$ берилгенде, $(1,0)$ чекитинен баштап тегерек боюнча $|t|$ узундуктагы жааны ченейбиз: $t > 0$ болгондо саат жебесине каршы, $t < 0$ болгондо саат жебеси боюнча. Бул жаанын аяктоочу чекити тегеректеги кандайдыр бир $P = (x, y)$ чекити болот. Андан кийин биз аныктайбыз:

Башкача айтканда: косинус — бул $x$-координатасы, ал эми синус — бул $y$-координатасы, бирдик тегеректеги жаа узундугуна (же бурчка) $t$ туура келген чекиттин.

Тик бурчтуу үч бурчтуктун аныктамасы менен дал келүүсү

Курч бурч $\theta$ ($0$ менен $\frac{\pi}{2}$ ортосунда) үчүн, $P$ чекитинен $x$-огуна перпендикуляр түшүрөбүз. Бул тик бурчтуу үч бурчтук түзөт, анын:

• Гипотенузасы = радиус = 1
• Жанындагы катети = $x$-координатасы
• Каршысындагы катети = $y$-координатасы

Демек, $\cos\theta = \frac{\text{жанындагы катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{1} = x$ жана $\sin\theta = \frac{\text{каршысындагы катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{y}{1} = y$, бул бирдик тегеректин аныктамасына толук дал келет.

Эмне үчүн тегерек аныктамасы бардык реалдуу сандарга жайылтылат

Тик бурчтуу үч бурчтуктун аныктамасы $0°$ менен $90°$ ортосундагы бурчтар үчүн гана иштейт ($200°$ бурчтуу үч бурчтук болушу мүмкүн эмес). Бирдик тегерек бул чектөөнү жок кылат: ар бир реалдуу сан $t$ тегеректеги бирден-бир чекитти аныктайт, ошондуктан $\sin t$ жана $\cos t$ бардык $t \in \mathbb{R}$ үчүн аныкталган. Мындан тышкары, жаа тегеректи бир нече жолу айлана алгандыктан, функциялар табигый түрдө мезгилдүү болуп калат.

Интерактивдүү: чекитти бирдик тегерек боюнча жылдыруу жана $\cos t$ менен $\sin t$ кантип өзгөрөрүн көрүү үчүн сыдырманы жылдырыңыз.