1. Физикалык мотивация: Күч талаасы тарабынан жасалган иш
Күч талаасы аркылуу ийри жол менен жылып бараткан бөлүкчөнү элестетиңиз — шамал жалбыракты ийри жол менен айдап баратат, же тартылыш күчү мончокту зым боюнча ылдый тартат. Ар бир чекитте талаа күч жаратат, бирок кыймылдын багыты боюнча болгон күчтүн компоненти гана иш жасайт. Экинчи түрдөгү сызыктык интеграл так ушул идеяны камтыйт.
Эстеп калыңыз — Вектордук талаа: Вектордук талаа $\mathbf{F}$ мейкиндиктеги ар бир чекитке вектор дайындайт. Сиз бул идея менен градиентти окуганда тааныштыңыз: $\nabla f$ — бул вектордук талаа. Эми ал жебелерди жөн гана тартуунун ордуна, аларды ийри сызык боюнча интегралдайбыз.
Аныктаманы кадам-кадам менен түзүү
- Ийри сызыкты кичинекей $\Delta \mathbf{r}_i$ бөлүктөргө бөлүңүз.
- Ар бир бөлүктө күч болжол менен $\mathbf{F}(\mathbf{r}_i)$ барабар.
- Ал бөлүктөгү иш $\mathbf{F}(\mathbf{r}_i) \cdot \Delta \mathbf{r}_i$ — скалярдык көбөйтүндү жылыш багытындагы күчтүн компонентин бөлүп алат.
- Бардык бөлүктөрдү кошуп, чекке өтүңүз:
Аныктама — Экинчи түрдөгү сызыктык интеграл
$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \;=\; \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{F}(\mathbf{r}_i) \cdot \Delta \mathbf{r}_i$$$\mathbf{r}(t)$ параметризациясы аркылуу, $a \le t \le b$:
$$\boxed{\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \;=\; \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\,dt}$$Компоненттер боюнча жазылышы
$\mathbf{F} = P\,\mathbf{i} + Q\,\mathbf{j} + R\,\mathbf{k}$ жана $d\mathbf{r} = dx\,\mathbf{i} + dy\,\mathbf{j} + dz\,\mathbf{k}$ деп жазалы. Анда: