1. Үзгүлтүксүздүккө ачылган чек: Период чексиздикке созулганда
Кайрылуу — Фурье катарынын баштапкы чекити
Фурье катары бөлүмүнөн эстеп көрүңүз: $T$ периоду бар периодикалык функция $\tilde{x}(t)$ гармоникалардын суммасы катары жазылат, мында жыштыктар $\omega_k = k\omega_0$, ал $\omega_0 = 2\pi/T$ — негизги жыштык. Фурье катары:
$$ \tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\, e^{ik\omega_0 t}, \qquad c_k = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} \tilde{x}(t)\,e^{-ik\omega_0 t}\,dt $$Ар бир $c_k$ коэффициенти дискреттик жыштыкта $\omega_k = k\omega_0$ жайгашат. Спектр — бул сызыктуу спектр — обочолонгон чокулардын жыйындысы.
1.1 Гармоникалар үзгүлтүксүз тилкеге биригиши
Эми суроо берели: $T$ период чексиз чоңойгондо эмне болот?
- Негизги жыштык $\omega_0 = 2\pi/T$ нөлгө жакындайт.
- Катар менен гармоникалардын ортосундагы аралык $\Delta\omega = \omega_0 = 2\pi/T$ чексиз кичинекей болот.
- Дискреттик спектралдык сызыктар бири-бирине жакындап, үзгүлтүксүз тыгыздыкка биригет.
Чынчыл сүрөт: Дискреттик спектрдин обочолонгон сызыктары жоголбойт — алар үзгүлтүксүз ийри сызыкка биригет. Ар бир сызыктын бийиктиги $c_k$ кичирейет (кичирейиши керек, анткени алардын саны көбөйөт), бирок $c_k \cdot T$ көбөйтүндүсү $\omega$ үзгүлтүксүз өзгөрмөсүнүн так аныкталган функциясына жакындайт. Ал функция — Фурье трансформациясы.
1.2 Чыгарылышынын эскизи (Мотивация, далил эмес)
$\hat{f}(\omega_k) = T\,c_k = \displaystyle\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\,e^{-i\omega_k t}\,dt$ деп аныктайлы. Анда калыбына келтирүү формуласы мындай болот: