1. Эмне үчүн бул аныктама? — Сызыктуу алмаштыруулардын композициясы
Негизги идея: Матрицаларды көбөйтүү тиешелүү элементтерди көбөйтүү менен аныкталбайт. Анын аныктамасы матрицаларды көбөйтүү алар билдирген сызыктуу түрлөндүрүүлөрдүн композициясына дал келиши керек деген талаптан келип чыгат.
1.1 Мотивациялоочу сценарий — Өзгөрмөлөрдүн эки ырааттуу алмашуусу
Бизде эки ырааттуу сызыктуу алмаштыруу (өзгөрмөлөрдү алмаштыруу) бар дейли:
1-кадам. $y_1, y_2$ өзгөрмөлөрүн $x_1, x_2, x_3$ аркылуу туюнтабыз:
$$ y_1 = 2x_1 + 3x_2 - x_3, \qquad y_2 = x_1 - 4x_2 + 5x_3 $$Матрицалык формада, $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -4 & 5 \end{pmatrix}$ жана $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ болгондо, бул $\mathbf{y} = A\mathbf{x}$.
2-кадам. $z_1$ өзгөрмөсүн $y_1, y_2$ аркылуу туюнтабыз:
$$ z_1 = 4y_1 + 7y_2 $$Матрицалык формада, $B = \begin{pmatrix} 4 & 7 \end{pmatrix}$ ($1 \times 2$ матрица) болгондо, бул $\mathbf{z} = B\mathbf{y}$.
Композиция. 1-кадамды 2-кадамга алмаштырабыз:
$$ z_1 = 4(2x_1 + 3x_2 - x_3) + 7(x_1 - 4x_2 + 5x_3) $$ $$ z_1 = 8x_1 + 12x_2 - 4x_3 + 7x_1 - 28x_2 + 35x_3 $$ $$ z_1 = 15x_1 - 16x_2 + 31x_3 $$Курамдуу алмаштыруу $\mathbf{z} = C\mathbf{x}$ болгондо $C = \begin{pmatrix} 15 & -16 & 31 \end{pmatrix}$.
Негизги жыйынтык: $C$ нин ар бир элементи кантип эсептелгенин караңыз. Мисалы, $c_{11} = 4 \cdot 2 + 7 \cdot 1 = 15$. Бул $B$ нин сабы менен $A$ нын биринчи тилкесинин скалярдык көбөйтүндүсү. Саб-тилке эрежеси — $BA$ ны курамдуу түрлөндүрүү $B \circ A$ нын матрицасына барабар кылган жалгыз эреже.