1. Теңдемелер системасынан матрицалык формага
Жаңылануу: Эмне үчүн матрицалар?
Сиз эки же үч сызыктуу теңдемеден турган системаларды алмаштыруу же жоюу ыкмасы менен чечүүнү билесиз. Эми биз ошол системаларды бир гана матрицалык теңдемеге кысабыз. Бул жөн гана кыскартуу эмес — ал каалаган өлчөмдөгү системалар үчүн бирдиктүү теорияны ачат жана детерминанттардын, тескери матрицалардын жана рангдын бардык куралдарын колдонууга мүмкүнчүлүк берет.
Эстеп көрөлү: Эки теңдемеден турган система
Тааныш системаны карап көрөлү:
$$\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2} \end{cases}$$Биз коэффициенттерди, белгисиздерди жана оң тарапты бөлүп алабыз:
$$\underbrace{\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}}_{A}\;\underbrace{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}_{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}}_{\mathbf{b}}$$Үч теңдемеден турган система
$$\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2} \\ a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3} \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix}$$Негизги аныктамалар
| Аталышы | Белгиси | Сүрөттөмөсү |
|---|---|---|
| Коэффициенттер матрицасы | $A$ | Белгисиздердин коэффициенттеринен турган $m \times n$ матрица |
| Белгисиздер тилкеси | $\mathbf{x}$ | Өзгөрмөлөрдөн турган $n \times 1$ тилке вектору |
| Оң тараптын тилкеси | $\mathbf{b}$ | Константалардан турган $m \times 1$ тилке |
| Кеңейтилген матрица | $[A \mid \mathbf{b}]$ | $A$ матрицасына $\mathbf{b}$ кошумча тилке катары тиркелген, тик сызык менен бөлүнгөн |
Кыскартылган теңдеме жөн гана:
$$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$$Эмне утулду? Ар бир система — $2 \times 2$, $3 \times 3$ же $100 \times 47$ болобу — эми бир эле формада жазылат. Матрицалык алгебранын бардык куралдары (саптык операциялар, детерминанттар, тескери матрицалар, ранг) бирдей колдонулат.