Экинчи туунду, ийилүүчүлүк жана ийилүү чекиттери
Жогорку тартиптеги туундулар, ийилүүчүлүк анализи жана функцияны изилдөө боюнча толук колдонмо
1. Экинчи туунду — Аныктамасы, белгилениши жана физикалык мааниси
1.1 Аныктама
$f(x)$ функциясынын экинчи туундусу — бул биринчи туундунун туундусу. Эгерде $f'(x)$ бар болуп, өзү дифференциалданса, анда:
$$f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right) = \frac{d^2 f}{dx^2}$$
1.2 Белгилениши
Окуу китептеринде бир нече барабар белгилөөлөр колдонулат:
| Белгилөө | Аталышы / Контексти |
|---|---|
| $f''(x)$ | Лагранж белгилөөсү (алгебра/анализ курстарында эң кеңири таралган) |
| $y''$ | $y = f(x)$ болгондо кыскартылган жазуу |
| $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ | Лейбниц белгилөөсү (өзгөрмөнү баса белгилейт) |
| $D^2 f$ | Оператордук белгилөө |
1.3 Эсептөө ыкмасы
$f''(x)$ табуу үчүн, $f'(x)$ функциясын ошол эле эрежелер менен (даража эрежеси, көбөйтүндү эрежеси, чынжыр эрежеси ж.б.) дифференциалдаңыз.
Тез мисал: $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$ болсун.
1-кадам: $f'(x) = 4x^3 - 12x$
2-кадам: $f''(x) = 12x^2 - 12$
1-кадам: $f'(x) = 4x^3 - 12x$
2-кадам: $f''(x) = 12x^2 - 12$
1.4 Физикалык чечмелөө — Ылдамдануу
Эгерде $s(t)$ $t$ убакыттагы нерсенин ордун көрсөтсө, анда:
- $s'(t) = v(t)$ — ылдамдык (ордунун өзгөрүү ылдамдыгы)
- $s''(t) = v'(t) = a(t)$ — ылдамдануу (ылдамдыктын өзгөрүү ылдамдыгы)
Тездөө жана жайлоо:
- Эгерде $v(t)$ менен $a(t)$ бирдей белгиге ээ болсо → нерсе тездеп баратат
- Эгерде $v(t)$ менен $a(t)$ карама-каршы белгиге ээ болсо → нерсе жайлап баратат
Мисал: Жогору ыргытылган топ: $s(t) = -4.9t^2 + 9.8t$ (метр).
$v(t) = s'(t) = -9.8t + 9.8$
$a(t) = s''(t) = -9.8$ м/с²
Ылдамдануу туруктуу жана терс (тартылыш күчү ылдый тартат). $t < 1$ болгондо, $v(t) > 0$ (жогору кыймылдайт) жана $a < 0$ → жайлайт. $t > 1$ болгондо, $v(t) < 0$ (ылдый кыймылдайт) жана $a < 0$ → тездейт.
$v(t) = s'(t) = -9.8t + 9.8$
$a(t) = s''(t) = -9.8$ м/с²
Ылдамдануу туруктуу жана терс (тартылыш күчү ылдый тартат). $t < 1$ болгондо, $v(t) > 0$ (жогору кыймылдайт) жана $a < 0$ → жайлайт. $t > 1$ болгондо, $v(t) < 0$ (ылдый кыймылдайт) жана $a < 0$ → тездейт.