Биринчи тартиптеги сызыктуу теңдемелер: Константаны вариациялоо
Бир эле күчтүү методдун эки жүзүн өздөштүрүү — жана ар бир биринчи тартиптеги сызыктуу ЖДТнин артындагы түзүлүш
1. Класстын аныктамасы — ЖДТни "Сызыктуу" кылган эмне?
Стандарттык форма
Биринчи тартиптеги жадыбал дифференциалдык теңдеме (ЖДТ) сызыктуу болот, эгерде аны стандарттык формада жазууга болсо:
Бул жерде "сызыктуу" деген сөз белгисиз $y$ жана анын туундусу $y'$ кандай көрүнөрүн билдирет: ар бири эң көп дегенде биринчи даражада кездешет, эч качан бири-бирине көбөйтүлбөйт, эч качан $\sin(y)$ же $e^y$ сыяктуу сызыктуу эмес функциянын ичинде болбойт. Коэффициент $P(x)$ жана оң тарабы (мажбурлоочу мүчө) $Q(x)$ көз карандысыз өзгөрмө $x$тин каалаган функциялары болушу мүмкүн.
- $P(x)$ — белгисиздин коэффициенти.
- $Q(x)$ — мажбурлоочу мүчө (же оң тарабы). Ал теңдемени нөлдөн алыстатат.
- Кийинчерээк экинчи тартиптеги сызыктуу теңдемелерге жеткенде, ошол эле терминдер кошумча туунду мүчөсү менен кайра пайда болот — бул жерде үйрөнгөнүңүздүн баары түздөн-түз өтөт.
Алдыңкы коэффициентти нормалдаштыруу
Эгерде теңдеме мындай формада келсе
$$ a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x), $$биз ар бир мүчөнү $a_1(x)$ке бөлөбүз ($a_1(x)\neq 0$ деп эсептеп), туундунун коэффициенти 1ге барабар болгон стандарттык формага жетебиз:
$$ y' + \underbrace{\frac{a_0(x)}{a_1(x)}}_{P(x)}\,y = \underbrace{\frac{g(x)}{a_1(x)}}_{Q(x)}. $$